整除分块的思考与运用

整除分块是为了解决一个整数求和问题

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题目的问题为：$$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$$

求出上述式子的值为多少？

上述问题等同于$code$↓

int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) sum+=n/i;//int是整除类型，所以可以直接整除
return sum;

注意事项：$\lfloor x\rfloor$代表不大于 $x$ 的最大整数，也可以成为向下取整

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我们不难看出，如果我们直接按题意暴力模拟，则时间复杂度为 $O(n)$，如果 $n$ 比较大就会超时(TLE警告QWQ)

而如果我们将$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ ($1\le i\le n$) 的值输出一下，就会发现其中有许多值是重复的

输出$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$值的 $code$↓

for(int i=1;i<=n;i++) cout<<n/i<<endl;

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我们可以举例来看一下：

我们令 $n=8$ ，则有

$i$ 的值	$i$ = $1$	$i$ = $2$	$i$ = $3$	$i$ = $4$	$i$ = $5$	$i$ = $6$	$i$ = $7$	$i$ = $8$
$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的值	$8$	$4$	$2$	$2$	$1$	$1$	$1$	$1$

此时我们可以明显的看出 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的值被明显的分成了几个块，每个块中的块值相同

分块	$[1,1]$	$[2,2]$	$[3,4]$	$[5,8]$
块值	$8$	$4$	$2$	$1$

整除分块的时间复杂度证明 & 分块数量

总共需要分少于$2\sqrt{n}$种块，证明如下：

$i\le n$ 时，$\frac{n}{i}$ 的值有$\left\{\frac{n}{1},\frac{n}{2},\frac{n}{3}...\frac{n}{\sqrt{n}}\right\}$，$\frac{n}{i}\ge \sqrt{n}$，共 $\sqrt{n}$ 个，此时 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 有 $\sqrt{n}$ 种取值

$i\ge n$ 时，有$\frac{n}{i}\le \sqrt{n}$，此时 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 也有 $\sqrt{n}$ 种取值

两者相加，共$2\sqrt{n}$种，所以整除分块的数量为 $O(\sqrt{n})$ 种，所以整除分块的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$

整除分块的公式 & 公式证明

结论：$$R=\frac{n}{\lfloor \frac{n}{L}\rfloor }$$
每个块中的元素个数为：$(R-L+1)$

每个块中元素的$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 值为 $\lfloor \frac{n}{L}\rfloor$

每个块中的和为$$ans=(R-L+1)\times \lfloor \frac{n}{L}\rfloor$$

公式证明

整除分块出现在能被 $n$ 完全整除的数之后，到下一个能被 $n$ 整除的数之间

令：当前能被 $n$ 整除的数为 $x$，下一个能被 $n$ 整除的数为 $y$

则有，整除分块的区间为$[(x+1)\sim y]$

令：$L=x+1$，$R=y$，$value$为分块区间的值，则有，
$$value=\lfloor \frac{n}{x+1}\rfloor =\lfloor \frac{n}{L}\rfloor$$
因为，$y$ 能被 $n$ 完全整除(PS：余数为$0$)

所以，$\lfloor \frac{n}{y}\rfloor =\frac{n}{y}$，且，$\frac{n}{y}=value$，则有，
$$\frac{n}{y}=value$$$$y=\frac{n}{value}$$

将$value=\lfloor \frac{n}{x+1}\rfloor$ 代入原式得：
$$y=\frac{n}{\lfloor \frac{n}{x+1}\rfloor }$$

我们将 $L=x+1$，$R=y$ 代入原式得：
$$R=\frac{n}{\lfloor \frac{n}{L}\rfloor }$$
因为
$$\lfloor \frac{n}{L}\rfloor =\lfloor \frac{n}{R}\rfloor$$
且因为$$\lfloor \frac{n}{R}\rfloor =\frac{n}{R}$$
因为 $(n/R)$ 能被 $n$ 完全整除

所以可以保证 $n$ 能完全整除 $\lfloor \frac{n}{L}\rfloor$

所以我们可以得证：
$$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{L}\rfloor }\rfloor =\frac{n}{\lfloor \frac{n}{L}\rfloor }$$

证明完毕

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细节详解：

在 $int，longlong$ 等整数类型中，可以直接进行整除，所以上面的得证等同于$R=(n/(n/L))$

代码code↓

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,L,R,ans=0;
int main(){
	cin>>n;
	for(L=1;L<=n;L=R+1){//L=R+1是代表进入下一个块
		R=n/(n/L);//公式
		ans+=(R-L+1)*(n/L);//求和
		cout<<L<<"~"<<R<<":"<<n/R<<" "<<n/L<<endl;//打印分块情况
	}
	cout<<ans;//打印和
	return 0;
}

当 $n=8$ 时的运行结果↓：