一、优先级队列的定义和存储
优先级队列定义：优先级高的元素在队头，优先级低的元素在队尾
基于普通线性表实现优先级队列，入队和出队中必有一个时间复杂度O(n),基于二叉树结构实现优先级队列，能够让入队和出队时间复杂度都为O(logn），这种基于树状结构的优先级队列也称为二叉堆。当根结点为最大元素时，称为最大化堆或大顶堆;当根结点为最小元素时，称为最小化堆或小顶堆。二叉堆是有序的完全二叉树，使用顺序存储，留出数组第一个位置作为哑结点，如图所示：
二、优先级队列的运算实现
先学习优先级队列的两大核心运算：入队和出队，之后再介绍如何建堆。下面以小顶堆为例分析。
2.1 入队：上滤插入
在原有的二叉堆上插入新元素，同时使其维持有序性，可以通过“上滤”实现。第一步是寻找新元素应插入的位置，第二步是插入新元素，时间复杂度为O(logn）
//先将新元素放在二叉堆最底部 int hole=++currentlength; //与父结点比较，决定是否交换（实际上不需要交换，因为新元素不一定到达最终插入位置）,条件：比父结点值小,上滤过程持续进行，设置循环; //循环结束条件:到达堆顶(hole=1)或已到达最终插入位置 while(hole>1&&x<array[hole/2]) { array[hole]=array[hole/2]; //父结点下移 hole/=2; //更新新元素位置 } //插入元素 array[hole]=x;
2.2 出队：下滤删除
现在要删除队头元素，也就是堆顶元素，简单的想法是和孩子节点比较，选择其中较小的上滤，可这样可能会破坏二叉堆完全二叉树的结构[比如1 3 2 4 5删除后2 3 null 45]，为了维持完全二叉树的结构，我们需要考虑为堆最后一个结点重新寻找位置。如图所示，将最后一个节点放在堆顶再下滤，就能实现删除堆顶元素并使二叉树结点数量减一。[比如1 3 2 4 5->
5 3 2 4->2 3 5 4]，时间复杂度为O(logn）
//把最后一个元素放在堆顶 tmp=array[1]=array[currentlength--]; hole=1; //叶子结点条件 2i>n,非叶子结点条件：2i<=n while(2*hole<=currentlength){ //选择较小子节点 child=2*hole; if(2*hole!=currentlength) if(array[child]>array[child+1]) child++; //下滤 if(tmp>array[child]) { array[hole]=array[child]; hole=child; } //否则下滤结束 else break; //否则选择左孩子结点上滤 }
2.3 建堆
在构造函数中传入数据数组初始化二叉堆，最简单的想法是对N个元素执行N次入队操作，每次入队后对维持二叉堆有序性，时间复杂度O(nlogn);如何提升时间效率呢，可以先用原始数据初始化二叉堆，再从最后一个非叶节点开始到第一个结点，依次执行下滤操作，这样调用percolateDown（i）时保证结点i的所有自堆都满足有序性，这样自下往上，从局部有序最后抵达全局有序，可以证明这种建堆方式时间复杂度为O（n）。
对2.2中的代码略微修改容易得到下滤函数：
//下滤函数 precolateDown实现 tmp=array[i]; hole=i; while(2*hole<=currentlength){ child=2*hole; if(2*hole!=currentlength) if(array[child]>array[child+1]) child++; if(tmp>array[child]) { array[hole]=array[child]; hole=child; } else break;建堆过程可以表示为
//建堆 buildHeap 实现 for(int i=currentlength/2;i>0;i--){ precolateDown(i); }
三、 STL中的优先级队列
类模板名：priority_queue
头文件：queue
定义：priority<elemtype,base container(默认 vector),(默认大顶堆，添加谓词greater<int>则定义小顶堆)>
成员函数：
void push() 入队
void pop() 出队
Elemtype top() 获取队头元素
void clear() 清空
bool empty() 判空
四、D堆
D堆就是D叉树，由于生成的堆更矮，入队的时间复杂度为
,比二叉堆更加优越。
但出队时就不一样了，由于需要比较子结点，若采用最简单的选择算法，则时间复杂度为
，因此D堆适用于插入操作比删除操作多非常多的场景。
五、归并优先级队列（了解）
归并：即合并两棵有序树，在前面我们做过合并二叉树的题目，归并可通过递归实现
5.1 左堆
这里的nql容易通过递归实现，参考二叉树中刷题中的类似题目。
5.2 斜堆
5.3 二项堆
二项堆和二进制有很大相似性，归并的过程也像二进制加法
六、多服务台排队系统模拟
#include<queue>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
class simulator { //模拟类
private:
enum IO { IN, OUT };
struct event {//事件类型
IO io; //事件性质：顾客到达/顾客离开
int serviceNo; //服务柜台编号
int eventTime; //事件时间
int customNo; //顾客编号
};
struct compare {
bool operator()(const event& e1, const event& e2)
{
return e1.eventTime > e2.eventTime;
}
};
int* service; //服务台
priority_queue<event, deque<event>, compare> Main; //处理事件队列，按照事件时间优先级排列，事件时间越早，优先级越高
queue<event> Wait; //排队队列
int customNum; //顾客数量
int serviceNum; //服务台数量
int serviceTimeMax; //最长服务时间
int serviceTimeMin; //最短服务时间
int arriveLow;//允许到达最早时间
int arriveHigh; //允许到达最晚时间
int searchFree(); //寻找空闲服务台,找不到返回-1
int currentTime; //模拟中当前时间
public:
simulator(int sTMax, int sTMin, int cusNum, int serNum,int arL,int arH) {
customNum = cusNum;
serviceNum = serNum;
serviceTimeMax = sTMax;
serviceTimeMin = sTMin;
arriveLow = arL;
arriveHigh = arH;
service = new int[serNum] {0};//将所有服务台置于空闲状态(0)
currentTime = 0;
};
void Simulation(); //模拟整个排队过程
};
int simulator::searchFree()
{
for (int i = 0; i < serviceNum; i++)
{
if (service[i]==0) return i;
}
return -1;
}
void simulator::Simulation()
{
//产生顾客的服务时间，并存入队列
event* Eve;
Eve=new event[customNum];
for (int i = 0; i < customNum; i++)
{
Eve[i].io = IN;
Eve[i].eventTime = arriveLow + rand() % (arriveHigh - arriveLow + 1);
Eve[i].serviceNo = -1; //未服务
Eve[i].customNo = i;
Main.push(Eve[i]);
}
//开始处理事件
while (!Main.empty())
{
int index;
event tmp = Main.top();
Main.pop();
currentTime = tmp.eventTime; //更新当前时间
switch (tmp.io) {
case IN: //处理到达事件
if ((index=searchFree())!=-1) //存在空闲服务台,让顾客前往该服务台
{
service[index] = 1;
tmp.serviceNo = index;
//将时间修改为离开事件，并随机生成其业务服务时间，修改事件时间，重新入队
tmp.io = OUT;
int Stime = serviceTimeMin + rand() % (serviceTimeMax - serviceTimeMin + 1);
tmp.eventTime += Stime;
Main.push(tmp);
cout << "当前时间：" << currentTime << endl;
cout << "服务台" << index << "正在服务顾客" << tmp.customNo << "，服务时长预计" << Stime << "分钟" << endl;
}
else { //不存在空闲服务台，让顾客排队等待
Wait.push(tmp);
}
break;
case OUT:
int NO = tmp.serviceNo;
cout << "当前时间：" << currentTime << endl;
cout << "服务台" << NO << "完成服务顾客" << tmp.customNo << endl;
//排队队列非空,让排队队列第一个人接受空出服务台服务
if (!Wait.empty())
{
event tmp2 = Wait.front();
Wait.pop();
int Stime = serviceTimeMin + rand() % (serviceTimeMax - serviceTimeMin + 1);
tmp2.eventTime = currentTime+Stime;
tmp2.io = OUT;
tmp2.serviceNo = NO;
Main.push(tmp2);
cout << "当前时间：" << currentTime << endl;
cout << "服务台" << NO << "正在服务顾客" << tmp2.customNo << "，服务时长预计" << Stime << "分钟" << endl;
}
else {
service[NO] = 0;
}
break;
}
}
}
int main()
{
srand(time(NULL));
int sTMax, sTMin, cusNum, serNum, arL, arH;
cout << "输入柜台数:" << endl;
cin >> serNum;
cout << "输入顾客数:" << endl;
cin >> cusNum;
cout << "输入服务时间下界和上界(单位：分钟)" << endl;
cin >> sTMin >> sTMax;
cout << "输入到达时间下界和上界(单位：分钟)" << endl;
cin >> arL >> arH;
simulator MySim(sTMax, sTMin, cusNum, serNum,arL,arH);
MySim.Simulation();
return 0;
}
