系统分析师-数学与经济管理

news2024/12/25 2:23:45

系统架构设计师

系统架构设计师-软件开发模型总结

文章目录

系统架构设计师
前言
一、最小生成树
二、最短路径
三、网络与最大流量
四、不确定型决策

前言

数学是一种严谨、缜密的科学，学习应用数学知识，可以培养系统架构设计师的抽象思维能力和逻辑推理能力，在从事系统分析工作时思路清晰，在复杂、紊乱的现象中把握住事物的本质，根据已知和未知事物之间的联系推断事物发展趋势和可能的结果。

一、最小生成树

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 [1]最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

某小区有七栋楼房1~7（见下图），各楼房之间可修燃气关掉路线的长度（单位：百米）已标记在连线旁。为修建联通各个楼房的燃气管道，该小区内部燃气关掉的总长度至少为多少百米？

克鲁斯卡尔算法：最短边
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法从另一途径求网的最小生成树。其基本思想是：假设连通网G=（V，E），令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}），概述图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点分别在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则，舍去此边而选择下一条代价最小的边。依此类推，直至T中所有顶点构成一个连通分量为止

普里姆算法：最近顶点
它规定图G = (V,E)是一个带权无向连通图，其中V表示所有顶点的集合，E表示边与顶点之间的关系。算法的目标是从图中的一个顶点出发，构建一颗包含所有顶点的最小生成树。在算法的每一步中，会选择一条连接已选顶点和未选顶点的边，这条边的权值最小。这个过程会一直重复，直到所有顶点都被包含在最小生成树中。

普里姆算法的特点是它只选取最小权值的边，且不会形成回路。在一个有n个顶点的图中，普里姆算法会选取n-1条边来构成最小生成树。

实现普里姆算法时，需要记录哪些顶点已经并入最小生成树（集合U），以及哪些边属于最小生成树（集合TE）。此外，还需要记录最小边在U和V-U中的顶点和权值，以便在每一步中选择正确的边。
在这里插入图片描述
最终答案： 3+6+4+2+3+5 = 23

二、最短路径

有一批货物要从城市S发送到城市T，线路上的数字代表这条路的费用（单位：万）。那么运送这批货物，至少需要花费多少元

假设5/6/9的最小分别为 f(5) f(6) f(9)，那么求得到t的最小就是 min(f(5) + 21, f(6) + 12, f(9) + 19 )，5/6/9的最小有需要借助他们各自的节点推导得到。这就是动态规划的递推思维

到1的最小为 min(25, 21+23),也就是25

到2的最小为min(21, 25+23)，也就是21

到3的最小为min(21+20, 21+25+12),其他的路径就不需要看了，肯定比这两个大。

依次类推…

最终求得s到t的最小值为 81
在这里插入图片描述

三、网络与最大流量

什么是网络流
在一个有向图上选择一个源点，一个汇点，每一条边上都有一个流量上限（以下称为容量），即经过这条边的流量不能超过这个上界，同时，除源点和汇点外，所有点的入流和出流都相等，而源点只有流出的流，汇点只有汇入的流。这样的图叫做网络流。
所谓网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D= （V、E、C），其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集，C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制，另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保持流入量和流出量是平衡的。

网络流最大流的求解

网络流的所有算法都是基于一种增广路的思想，下面首先简要的说一下增广路思想，其基本步骤如下：

1.找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上任意一条边的残量>0（注意是小于而不是小于等于，这意味着这条边还可以分配流量），这条路径便称为增广路
2.找到这条路径上最小的F[u][v]（我们设F[u][v]表示u->v这条边上的残量即剩余流量），下面记为flow
3.将这条路径上的每一条有向边u->v的残量减去flow，同时对于起反向边v->u的残量加上flow
4.重复上述过程，直到找不出增广路，此时我们就找到了最大流

这个算法是基于增广路定理(Augmenting Path Theorem): 网络达到最大流当且仅当残留网络中没有增广路

下图标出了某地区的运输网，各节点之间的运输能力如下表所示。那么，从节点1到节点6的最大运输能力（流量）可以达到多少万吨/小时？

尽可能的考虑网络上的流量路径，求出每个路径的最大流量（路径最大流量是由路径上的最小流量路径决定的）；每次都抽取出最大流量路径流量，将流量从路径中抽离；对于0流量的路径进行删除；反复操作直到节点路径穷尽。下方求得网络最大流量 = 10 + 6 + 5 + 1 + 1 = 23

四、不确定型决策

不确定型决策所处的条件和状态都与风险型决策相似，不同的只是各种方案在未来将出现哪一种结果的概率不能预测，因而结果不确定。

等可能性法
也称拉普拉斯决策准则。采用这种方法，是假定自然状态中任何一种发生的可能性是相同的，通过比较每个方案的损益平均值来进行方案的选择，在利润最大化目标下，选取择平均利润最大的方案，在成本最小化目标下选择平均成本最小的方案。
保守法
也称瓦尔德决策准则，小中取大的准则。决策者不知道各种自然状态中任一种发生的概率，决策目标是避免最坏的结果，力求风险最小。运用保守法进行决策时，首先在确定的结果，力求风险最小。运用保守法进行决策时，首先要确定每一可选方案的最小收益值，然后从这些方案最小收益值中，选出一个最大值，与该最大值相对应的方案就是决策所选择的方案。
冒险法
也称赫威斯决策准则，大中取大的准则。决策者不知道各种自然状态中任一种可能发生的概率，决策的目标是选最好的自然状态下确保获得最大可能的利润。冒险法在决策中的体运用是：首先，确定每一可选方案的最大利润值；然后，在这些方案的最大利润中选出一个最大值，与该最大值相对应的那个可选方案便是决策选择的方案。由于根据这种准则决策也能有最大亏损的结果，因而称之冒险投机的准则。
乐观法
也称折衰决策法，决策者确定一个乐观系数ε（0.5，1），运用乐观系数计算出各方案的乐观期望值，并选择期望值最大的方案。
最小最大后悔值法
也称萨凡奇决策准确性则，决策者不知道各种自然状态中任一种发生的概率，决策目标是确保避免较大的机会损失。运用最小最大后悔值法时，首先要将决策矩阵从利润矩阵转变为机会损失矩阵；然后确定每一可选方案的最大机会损失；再次，在这些方案的最大机会损失中，选出一个最小值，与该最小值对应的可选方案便是决策选择的方案。
决策矩阵