Kruskal算法简介

$Kruskal$ 是基于贪心算法的$MST$ 算法，核心思想为以边为中心查找最小生成树，时间复杂度为 $O(mlo{g}_{2}m)$，其中的 $m$ 为边数

具体算法可分为两个步骤：

1.以边权为优先级来进行排序

2.使用并查集查找连通性，如果不连通，则加边，加答案

---

Kruskal算法前置知识

1.对于 $vector$ 的容器排序算法（使用 $sort$ 即可）

sort(T.begin(),T.end(),cmp);//这是vector的排序方法

解释：$T.begin()$ 是 $vector$ 的起始部分，$T.end()$ 是 $vector$ 的结束部分，$T$ 是 $vector$ 的容器名

sort 中的cmp函数

$cmp$ 为 $sort$ 重构函数，需要自己定义，这个函数的类型为 $bool$ ，内部变量的类型便是需要排序的容器的类型

cmp模版code如下↓

T name;
bool cmp(T x,T y){return x op y}
sort(name(first),name(last),cmp)

$T$ 为容器类型，$name$ 为容器名字，$name(first)$ 代表容器的第一位，$name(last)$ 表示容器的最后一位

---

2.使用结构体的构造来赋值

Edge(int a,int b,int c):u(a),v(b),w(c){};

上述构造函数的代码的意思等同于↓：

Edge(int a,int b,int c){u=a,v=b,w=c;}

在结构体里加边的操作也就为：T.push_back(Edge(u,v,w));

---

3.容器 $vector$ 的定义

我们需要用容器来管理结构体

也就是将结构体给定义在容器里

vector<Node> T;//其中T为容器名,Node为结构体名

定义code总结↓：

struct Node{
	int u,v,w;//定义类型
	Edge(int a,int b,int c):u(a),v(b),w(c){};//使用构造
};
bool (Node x,Node y){return x.w<y.w}//具体使用vector里的哪一个定义排序的函数
vector<Node> T;//使用容器来管理结构体
sort(T.begin(),T.end(),cmp)//其中T为容器名

---

算法思考

我们先给出一个题目来进行思考↓：

$x$ 市共有 $n$ 个岛屿，$m$ 种修桥的方案由于 $x$ 市的市长是一个黑心市长，所以他想要选择一种方案使得总共修桥的钱最少
每年他可以修一座桥，问：需要几年才能使得所有的岛屿之间都可以互相同行，最少修桥的钱为多少？

我们可以知道：修桥的钱数就是边权，岛屿的名字就是点的编号

第一个问题很好解答，使得所有点之间都可以连通的最少边数为 $N-1$ 条边

第二个问题我们就需要进行 $Kruskal$ 进行求最小生成树了

输入格式为
第 $1$ 行，两个整数 $n$ , $m$
第 $2$ ~ $n+1$ 行，每行三个整数 $u$ , $v$ , $w$ ，表示所连接的两点及其边权

我们先给出一组样例↓

4 6
1 2 11
2 3 13
3 4 9
4 1 21
1 3 23
4 2 20

样例解释如图示↓

样例详细示范与解释

因为我们是需要" 花最少的钱，办最多的事 "，所以我们需要先以边的权值为优先级进行排序，结果为↓

3 4 9
1 2 11
2 3 13
4 2 20
4 1 21
1 3 23

那么我们就可以开始进行判断了，每一次重复的过程为：查找两个点是否连通，如果不连通，则加边

int x=find(wei[i].u),y=find(wei[i].v);//查找两个点的祖先
	if(x!=y){//如果祖先相同，则他们连通，在同一个集合内
		f[x]=y;//将两条边连在一起
		ans+=wei[i].w;//将它的权值加在最终答案里
		cnt++;//已经连接的边数+1
	}

解释：因为我们最开始已经排过序了，所以如果不连通，那么这条边一定是连接这两个点的最小代价

最后，如果两个点不连通，直接加边和答案，如果边数已经满足最少边数为 $N-1$ 条，则返回答案

return cnt==n-1?ans:-1;//如果边数是n-1条则返回答案，否则没有答案，无法连接所有边

如何使用并查集查找两个点的连通性，可见我的另一篇博文：并查集【模版】& 路径压缩优化

动图视频如下：

kruskal模版code↓

int kruskal(int n,int m,vector<Edge> &wei){
	sort(wei.begin(),wei.end(),cmp);
	int ans=0,cnt=0;
	for(int i=0;i<m;i++){
		int x=find(wei[i].u),y=find(wei[i].v);
		if(x!=y){
			f[x]=y;
			ans+=wei[i].w;
			cnt++;
		}
	}
	return cnt==n-1?ans:-1;
}

例题：洛谷P3366 【模板】最小生成树code↓

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+7;
struct Edge{
	int u,v,w;
	Edge(int a,int b,int c):u(a),v(b),w(c){};
};
int f[maxn]={},n,m;
bool cmp(Edge x,Edge y){
	return x.w<y.w;
}
int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);} 
vector<Edge> wei;
int kruskal(int n,int m,vector<Edge> &wei){
	sort(wei.begin(),wei.end(),cmp);
	int ans=0,cnt=0;
	for(int i=0;i<m;i++){
		int x=find(wei[i].u),y=find(wei[i].v);
		if(x!=y){
			f[x]=y;
			ans+=wei[i].w;
			cnt++;
		}
	}
	return cnt==n-1?ans:-1;
}
int init(){
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
	return 0;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		wei.push_back(Edge(u,v,w));//因为是无向图，所以需要反过来再加一次边
		wei.push_back(Edge(v,u,w));
	}
	int ans=kruskal(n,2*m,wei);//因为是无向图，所以边数是原边数的两倍
	if(ans==-1) cout<<"orz";
	else cout<<ans;
	return 0;
}

这么一点代码当然是可以 $AC$ 的

完结撒花QWQ