线段树(算法思想+模板+例题)

news2024/9/29 11:32:14

基础思想 :

介绍

线段树可以用来维护区间信息(区间和，区间最值，区间GCD等) ，可以在log n的时间内执行区间修改和区间查询 ;

1 . 叶子结点的特点是左右结点相等，存储元素本身;

2 . 非叶子结点存储的是区间内的统计值，

建树

建树的过程相当于dfs :

#define lc p<<1 ;
#define rc P<<|1 ;
#define N 5e5 + 10 ;
int n , w[N] ;

struct node{
	int l , r , sum , add ;
}tr[N*4];

// 建树 
void build(int p , int l , int r){
	// 对 [l,r] 区间建立线段树 ，当前根的编号为 p 
	tr[p] = {l , r , w[l]} ;
	if(l==r) return ; // 是叶子结点就返回
	int m = l + ((r-l)>>1);
	build(lc,l,m) ;
	build(rc,m+1,r); 
	tr[p].sum = tr[lc].sum + tr[rc].sum ;
}

为什么要开N*4的存储空间：

点修改 :

// 点修改
void update(int p,int x , int k){ // 点修改 : 对点x加上k  : O(logn) 
	// 从根节点出发，递归找到叶子节点，然后从下往上更新其祖先结点 
	if(tr[p].l==x && tr[p].r==x){ // 叶子结点 
		tr[p].sum += k ;
		return ;
	}
	int m = tr[p].l + ((tr[p].r-tr[p].l)>>1) ;//非叶子结点则裂开 
	if(x<=m) udate(lx,x,k) ;
	if(x>m) update(rc,x,k) ;
	tr[p].sum = tr[lc].sum + tr[rc].sum ; 
}

区间查询 :

// 区间查询 
int query(int p,int x,int y){ // 查询区间[x,y]的和 : O(logn)
	if(x<=tr[p].l&&tr[p].r<=y){
		return tr[p].sum ;
	}
	int m = tr[p].l + ((tr[p].r-tr[p].l)>>1) ;
	int sum = 0 ;
	if(x<=m) sum += query(lc,x,y);//与左区间重叠 
	if(y>m) sum += query(rc,x,y);//与右区间重叠 
	return sum ;
}

如果带上懒标记 :

// 区间查询 
int query(int p,int l,int r){ // 查询区间[x,y]的和 : O(logn)
	if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r){
		return tr[p].sum ;
	}
	pushdown(p) ;
	int m = tr[p].l + tr[p].r >> 1 ;
	int sum = 0 ;
	if(l<=m) sum += query(lc,l,r);//与左区间重叠 
	if(r>m) sum += query(rc,l,r);//与右区间重叠 
	return sum ;
}

区间修改 :

// 区间修改
void pushup(int p){// 向上更新 
	tr[p].sum=tr[lc].sum+tr[rc].sum; 
} 
void pushdown(int p){ // 向下更新 
	if(tr[p].add){
		tr[lc].sum+=tr[p].add*(tr[lc].r-tr[lc].l+1),
		tr[rc].sum+=tr[p].add*(tr[rc].r-tr[rc].l+1),
		tr[lc].add+=tr[p].add,
		tr[rc].add+=tr[p].add,
		tr[p].add=0;
	}
}
void updateQJ(int p,int x,int y,int k){//对[x,y]全部+k 
	// 先走到叶子节点，将每个叶子节点+k,然后返回修改祖先的结点 
	// 做懒惰标记,当区间[x,y]完全覆盖[a,b]，先修改区间的sum值，再打上一个懒标记,然后立即返回
	// 等下次需要是，再下传懒标记，这样就可以将每次修改和查询的时间都控制在O(logn); 
	if(x<=tr[p].l&&tr[p].r<=y){//覆盖则修改
		tr[p].sum += (tr[p].r-tr[p].l+1)*k;
		tr[p].add+=k;
		return ; 
	}
	int m = tr[p].l + ((tr[p].r-tr[p].l)>>1) ;
	pushdown(p);
	if(x<=m) update(lc,x,y,k) ;
	if(y>m) update(rc,x,y,k) ;
	pushup(p);
}

例题 :

【模板】线段树 1 - 洛谷

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long 
const int N = 1e5 + 10 ;
#define lc p<<1 
#define rc p<<1|1 
int w[N] ;

struct Tree{
	int l , r , sum , add ;
}tr[N*4];

// 区间修改
void pushup(int p){// 向上更新 
	tr[p].sum=tr[lc].sum + tr[rc].sum; 
} 

void pushdown(int p){ // 向下更新 
	if(tr[p].add>0){
		tr[lc].sum+=tr[p].add*(tr[lc].r-tr[lc].l+1);
		tr[rc].sum+=tr[p].add*(tr[rc].r-tr[rc].l+1);
		tr[lc].add+=tr[p].add;
		tr[rc].add+=tr[p].add;
		tr[p].add=0;
	}
}

// 建树 
void build(int p , int l , int r){
	// 对 [l,r] 区间建立线段树 ，当前根的编号为 p 
	tr[p] = {l , r , w[l],0} ;
	if(l==r) return ; // 是叶子结点就返回
	int m = l + r >> 1 ;
	build(lc,l,m) ;
	build(rc,m+1,r); 
	pushup(p) ;
}

void updateQJ(int p,int l,int r,int k){//对[l,r]全部+k 
	// 先走到叶子节点，将每个叶子节点+k,然后返回修改祖先的结点 
	// 做懒惰标记,当区间[l,r]完全覆盖[a,b]，先修改区间的sum值，再打上一个懒标记,然后立即返回
	// 等下次需要是，再下传懒标记，这样就可以将每次修改和查询的时间都控制在O(logn); 
	if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r){//覆盖则修改
		tr[p].sum += (tr[p].r-tr[p].l+1)*k;
		tr[p].add+=k;
		return ; 
	}
	int m = tr[p].l + tr[p].r >> 1 ;
	pushdown(p);
	if(l<=m) updateQJ(lc,l,r,k) ;
	if(r>m) updateQJ(rc,l,r,k) ;
	pushup(p);
}

// 区间查询 
int query(int p,int l,int r){ // 查询区间[x,y]的和 : O(logn)
	if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r){
		return tr[p].sum ;
	}
	pushdown(p) ;
	int m = tr[p].l + tr[p].r >> 1 ;
	int sum = 0 ;
	if(l<=m) sum += query(lc,l,r);//与左区间重叠 
	if(r>m) sum += query(rc,l,r);//与右区间重叠 
	return sum ;
}

// 点修改
void update(int p,int x , int k){ // 点修改 : 对点x加上k  : O(logn) 
	// 从根节点出发，递归找到叶子节点，然后从下往上更新其祖先结点 
	if(tr[p].l==x && tr[p].r==x){ // 叶子结点 
		tr[p].sum += k ;
		return ;
	}
	int m = tr[p].l + ((tr[p].r-tr[p].l)>>1) ;//非叶子结点则裂开 
	if(x<=m) update(lc,x,k) ;
	if(x>m) update(rc,x,k) ;
	tr[p].sum = tr[lc].sum + tr[rc].sum ; 
} 


signed main(){
	int n , m ; cin >> n >> m ;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin >> w[i] ;
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op ; cin >> op ;
		if(op==1){
			int x , y , k ; cin >> x >> y >> k ;
			updateQJ(1,x,y,k) ;
		}else{
			int x , y ; cin >> x >> y ;
			int ans = query(1,x,y);
			cout << ans << endl ;
		}
	}
}