583.两个字符串的删除操作

思路一

dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
  dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
  • 情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
  • 情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
  • 情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

取最小值， 其中dp[i - 1][j - 1] + 2 = dp[i][j - 1] + 1，因为dp[i][j - 1]本来就不考虑word2[j - 1]了，再删除word1[i - 1]就可以达到两个元素都删除的效果，即dp[i][j - 1] + 1
所以dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。
dp[0][j]的话同理

vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

72.编辑距离

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

• if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
  不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
• if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
  • 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
    即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
  • 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
    即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
    为什么没有添加元素？ word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = “ad” ，word2 = “a”，word1删除元素’d’ 和 word2添加一个元素’d’，变成word1=“a”, word2=“ad”， 最终的操作数是一样！
  • 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。
    if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 。
    那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。
    所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？
dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。
那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;
同理dp[0][j] = j;