1、公式

条件期望的定义公式如下：

2、推导

初看有些抽象，以一个例子来说明其如何推导：

让我们通过一个具体的例子来分析这个公式，以便更好地理解它。

假设有一个小型公司，它根据季节和市场需求生产和销售三种不同的产品：产品种类，：季节，：市场需求）。我们想计算某个产品销售收入的期望值，而这个收入受到产品种类、季节和市场需求的共同影响。

例子背景

• 产品种类 ：有三种产品，分别为​。
• 季节 ：分为春季（）和秋季（​）。
• 市场需求 ：可以是高（​）或低（​）。

每种条件下产品的收入会有所不同。

概率分布

为了简化，我们假设所有条件的概率都是已知的：

• ：各产品种类的生产概率。
• ：在生产某种产品的条件下，各季节的概率。
• ：在特定季节生产特定产品的条件下，市场需求的概率。

收入函数 f(x,y,z)

收入函数是一个根据产品种类、季节和市场需求确定的函数。例如，某个产品在春季有高需求时的收入可能为100单位，而在秋季有低需求时的收入可能仅为50单位。

分析

1. 第一步是计算给定产品种类和季节条件下，市场需求对收入期望值的贡献。这通过对所有可能的市场需求的收入值加权求和来实现，权重为。

2. 第二步，现在我们已经有了在特定产品种类和季节下的市场需求条件收入期望值，我们接下来需要计算在特定产品种类下，不同季节对收入期望值的贡献。这需要对所有可能的季节的条件期望值加权求和，权重为。

3. 最后一步，我们已经计算出了在特定产品种类下，考虑所有可能季节和市场需求后的收入期望值。现在，我们需要计算所有产品种类对收入期望值的贡献。这通过对所有可能的产品种类的条件期望值加权求和来实现，权重为。