文章目录

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• • 1）整数二分
  • 2）解二分题步骤
  • • AcWing 789.数的范围
    • 洛谷 P1873.EKO/砍树
    • 洛谷 P1678.烦恼的高考志愿
  • 2）浮点二分
  • • AcWing 790. 数的三次方根

1）整数二分

• 有单调性的题目一定可以二分，但是用二分做的题目不一定拥有单调性。
• 二分的本质不是单调性，二分的本质是边界，两套模板如下：
• 套模板时经常容易出现边界问题，那么什么时候选择哪套模板？听了y总的思路后，结合我自己的想法，接下来解析两套模板：
• 首先想$check$函数，再想如何更新区间，如果是 $l=mid$，那么补上$+1$，如果是 $r=mid$，那么不需要补上$+1$
• ① 如果答案在右边，比如：找最大值，或者最后一个出现的位置；那么 $l=mid$，那么对立面就是 $r=mid-1$；$mid=l+r+1>>1$
• ② 如果答案在左边，比如：找最小值，或者第一个出现的位置；那么$ r=mid$，那么对立面就是 $l=mid+1$；$mid=l+r>>1$
• 对于第一种情况①，为什么要+1？可以想象一下，如果已经找到答案，$mid=l=r$，那么$mid=l+r>>1$就还是$[l,r]$，又因为包含答案，所以再次更新结果还是$[l,r]$，就会陷入死循环，也就是我们说的边界问题
• 注意：二分一定是有解的，不可能无解，无解永远是题目的无解而不是二分的无解。

// 答案在左边，能取到答案
int bsearch_1(int l,int r) {
	while(l<r) {
		int mid=l+r>>1;
		if(check(mid))
			r=mid; // [l,mid]
		else
			l=mid+1; // [mid+1,r]
	}
	return l;
}

// 答案在右边，能取到答案
int bsearch_2(int l,int r) {
	while(l<r) {
        // 如何理解这个+1,见上述解析
		int mid=l+r+1>>1;
		if(check(mid))
			l=mid; // [mid,r]
		else
			r=mid-1; // [l,mid-1]
	}
	return l;
} 

2）解二分题步骤

• 题目中出现求最值，首先想到二分/贪心/动态规划等算法

• 题目具有单调性，则可以考虑用二分求解

• 分析使用哪个模板

  1. 第一次出现，求第一个大于等于/大于/小于/小于等于某个数的数，求解最小值，说明答案在左边，用第一个模板

  2. 最后一次出现，最后一个大于等于/大于/小于/小于等某个数的数，求解最大值，说明答案在右边，用第二个模板

• 写check函数

AcWing 789.数的范围

题目链接：789. 数的范围 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;

// 题目描述: 
// 找数字的左端点:大于等于x的第一个位置,q[mid]>=x,更新:R=mid,L=mid+1,当l=r时,若q[r]!=x,说明第一个大于等于x的位置不是x,则找不到
// 找数字的右端点:大于等于x的最后一个位置,q[mid]<=x,更新:L=mid,R=mid-1,当l=r时,若q[r]!=x,说明最后一个大于等于x

const int N=1e5+10;
int n,m;
int q[N];

int main() {
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
	// m次询问
	while(m--) {
		int x;
		cin>>x;
		// 二分x的左端点
		int l=0,r=n-1; // 区间范围
		while(l<r) {
			int mid=l+r>>1;
			if(q[mid]>=x) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		if(q[r]==x) {
			// 存在左端点,输出
			cout<<r<<' ';
			
			// 继续找右端点,左端点继续从上一次搜索的终点开始找
			r=n-1;
			while(l<r) {
				int mid=l+r+1>>1;
				if(q[mid]<=x) l=mid;
				else r=mid-1;
			}
			cout<<r<<endl; // 输出一组解
		} else {
			cout<<"-1 -1"<<endl;	
		}
	}
	return 0;
}

洛谷 P1873.EKO/砍树

题目链接：[P1873 COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树 - 洛谷

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> PII;

// 解题思路: 

const ll N=1e6+10;
ll n,m; // n:树的数量,m:要的木材总长度
ll a[N]; // 存储树的高度

// 如果有木头有这么多,就返回true
bool check(ll mid) {
	ll cnt=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++) {
		if(a[i]-mid>0) {
			cnt+=a[i]-mid;
		}	
	}
	if(cnt>=m) return true;
	else return false;
}

int main() {
	ll mmax=INT_MIN;
	cin>>n>>m;
	for(ll i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);
		mmax=max(mmax,a[i]);
	}
	ll l=0; // 锯子最小高度为0,全切
	ll r=mmax; // 最高切完最大的这棵树,一棵都不切
	// 要找最大值,那么答案在右边,所以压缩左边界
	while(l<r) {
		ll mid=l+r+1>>1;
		if(check(mid)) {
			l=mid;
		} else {
			r=mid-1;
		}
	}
	cout<<l<<endl;
	return 0;
}

洛谷 P1678.烦恼的高考志愿

题目链接：P1678 烦恼的高考志愿 - 洛谷

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 开ll不然过不了

const ll N=1e5+5;
ll n,m;
ll a[N]; // 存储学校的分数线
ll b[N]; // 存储每个同学的估分

int main() {
	cin>>n>>m;
	// n个学校,m个同学
	for(ll i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld",&a[i]);	
	}
	for(ll i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%lld",&b[i]);
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	ll cnt=0;
	// 遍历所有同学
	for(ll i=1;i<=m;i++) {
		// 卫语言风格
		// 比最小值还小,跳过
		if(b[i]<=a[1]) {
			cnt+=abs(b[i]-a[1]);
			continue;
		}
		else if(b[i]>=a[n]) {
			cnt+=abs(b[i]-a[n]);
			continue;
		}
		ll l=1,r=n; // 边界是[1,n]
		while(l<r) {
			ll mid=l+r>>1;
			// 注意找第一个是答案在左边的问题,所以要压缩右边界
			// 找第一个大于等于b[i]的第一个学校的分数线a[l]
			// 那么最后一个小于b[i]的元素的下标就应该是a[l-1]
			if(a[mid]>=b[i])
				r=mid;
			else
				l=mid+1;
		}
		// 取二者之中的最小值
		cnt+=min(abs(a[l]-b[i]),abs(a[l-1]-b[i]));
	}
	cout<<cnt;
	return 0;
}

2）浮点二分

AcWing 790. 数的三次方根

题目链接：790. 数的三次方根 - AcWing题库

• 对于开二次方根，因为开出来一定是正数，所以可以设置$l=0$，$r=x$，但是三次方根可能有负数，不能单纯的取 $l=-x$，$r=x$，这样的话输入的$x$是正数，范围是$[-x,x]$，输入的数是负数，范围是$[x,-x]$就会出大问题。

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
int main() {
	double x;
	cin>>x;
	// 因为是开三次方根,所以要考虑负数的情况
    // 注意
	double l=-100000,r=100000;
	// 保留6位小数就1e-8(基于经验),同理保留4位就1e-6
	while(r-l>1e-8) {
		double mid=(l+r)/2;
		if(mid*mid*mid>=x)
			r=mid;
		else
			l=mid;
	}
	cout<<setprecision(6)<<fixed<<l<<endl;
	return 0;
}