代码随想录动态规划-股票问题

121.买卖股票的最佳时机

122买卖股票的最佳时机II

123. 买卖股票的最佳时机III

188.买卖股票的最佳时机IV

309.买卖股票的最佳时机含冷冻期

714.买卖股票的最佳时机含手续费

121.买卖股票的最佳时机

121. 买卖股票的最佳时机

简单

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104

动规五部曲分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]，这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

很多同学把“持有”和“买入”没区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]

第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]，也可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]

第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递推公式我们就分析完了

dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

121.买卖股票的最佳时机

dp[5][1]就是最终结果。

class Solution {  
    // 定义一个公开方法maxProfit，接受一个整数数组prices作为参数，返回最大利润  
    public int maxProfit(int[] prices) {  
        // 创建一个二维数组dp，大小为prices数组的长度乘以2  
        // dp[i][0]表示第i天不持有股票时的最大利润  
        // dp[i][1]表示第i天持有股票时的最大利润  
        int[][] dp = new int[prices.length][2];  
          
        // 初始化dp数组  
        // 第0天不持有股票的最大利润为0（因为没有股票可以卖）  
        dp[0][1] = 0;  
        // 第0天持有股票的最大利润为-prices[0]（需要买入股票）  
        dp[0][0] = -prices[0];  
  
        // 从第1天开始遍历到最后一天  
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){  
            // 第i天持有股票的最大利润要么是前一天就持有股票（dp[i - 1][1]），要么是在第i天买入股票（dp[i - 1][0] + prices[i]）  
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1],dp[i - 1][0] + prices[i]);  
  
            // 第i天不持有股票的最大利润要么是前一天就不持有股票（dp[i - 1][0]），要么是在第i天卖出股票（dp[i - 1][1] - prices[i]）  
            // 注意：这里原代码有误，应该是dp[i - 1][1] - prices[i]，而不是dp[i - 1][0] - prices[i]  
            // 正确的应该是：dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);  
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0],- prices[i]);  
        }  
  
        // 返回最后一天持有股票时的最大利润，因为最后一天持有股票意味着在最后一天之前已经卖出了股票，从而获得最大利润  
        return dp[prices.length - 1][1];  
    }  
}

122买卖股票的最佳时机II

122. 买卖股票的最佳时机 II

中等

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的最大利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
     总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

提示：

1 <= prices.length <= 3 * 104
0 <= prices[i] <= 104

本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)一样一样的。

dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]

注意这里和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。

在121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况，依然可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

注意这里和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！

class Solution {  
    // 定义一个公共方法，接收一个整数数组prices，返回最大利润  
    public int maxProfit(int[] prices) {  
        // 定义一个二维数组dp，dp[i][0]表示第i天不持有股票时的最大利润，dp[i][1]表示第i天持有股票时的最大利润  
        int[][] dp = new int[prices.length][2];  
          
        // 初始化dp数组  
        // 第0天不持有股票的最大利润是-prices[0]（即买入了股票），持有股票的最大利润是0（即没有操作）  
        dp[0][0] = -prices[0];  
        dp[0][1] = 0;  
  
        // 从第1天开始遍历到最后一天  
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){  
            // 第i天不持有股票的最大利润，有两种可能：  
            // 1. 第i-1天就不持有股票，第i天没有进行任何操作；  
            // 2. 第i-1天持有股票，第i天卖出股票，此时利润为dp[i-1][1] + prices[i]  
            // 取这两种情况的最大值  
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][0]);  
  
            // 第i天持有股票的最大利润，也有两种可能：  
            // 1. 第i-1天就不持有股票，第i天买入股票，此时利润为dp[i-1][0] - prices[i]  
            // 2. 第i-1天就持有股票，第i天没有进行任何操作  
            // 取这两种情况的最大值  
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);  
        }  
  
        // 最后一天的最大利润就是dp[prices.length - 1][1]和dp[prices.length - 1][0]中的较大值  
        // 但由于题目中允许最后一天卖出股票，因此最后一天的最大利润必然是dp[prices.length - 1][1]  
        return dp[prices.length - 1][1];  
    }  
}

123. 买卖股票的最佳时机III

123. 买卖股票的最佳时机 III

困难

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105

动态规划五部曲详细分析一下：

确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

没有操作（其实我们也可以不设置这个状态）
第一次持有股票
第一次不持有股票
第二次持有股票
第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

例如 dp[i][1] ，并不是说第i天一定买入股票，有可能第 i-1天就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。

确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

123.买卖股票的最佳时机III

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。

所以最终最大利润是dp[4][4]

class Solution {  
    public int maxProfit(int[] prices) {  
        // 定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示第i天进行j次交易时的最大利润  
        // j的取值范围是0到4，分别表示：  
        // 0: 未进行任何交易  
        // 1: 第一次买入股票  
        // 2: 第一次卖出股票  
        // 3: 第二次买入股票  
        // 4: 第二次卖出股票  
        int[][] dp = new int[prices.length][5];  
  
        // 初始化dp数组  
        // 第0天未进行任何交易，利润为0  
        dp[0][0] = 0;  
        // 第0天第一次买入股票，利润为-prices[0]  
        dp[0][1] = -prices[0];  
        // 第0天无法完成第一次卖出、第二次买入或第二次卖出，利润为0  
        dp[0][2] = 0;  
        dp[0][3] = -prices[0];  
        dp[0][4] = 0;  
  
        // 从第1天开始遍历到最后一天  
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){  
            // 第i天未进行任何交易，利润与前一天相同  
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];  
  
            // 第i天第一次买入股票，有两种可能：  
            // 1. 第i-1天未进行任何交易，第i天买入股票，利润为dp[i-1][0] - prices[i]  
            // 2. 第i-1天已经第一次买入股票，第i天未进行任何操作，利润与前一天相同  
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);  
  
            // 第i天第一次卖出股票，有两种可能：  
            // 1. 第i-1天第一次买入股票，第i天卖出股票，利润为dp[i-1][1] + prices[i]  
            // 2. 第i-1天已经第一次卖出股票，第i天未进行任何操作，利润与前一天相同  
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);  
  
            // 第i天第二次买入股票，有两种可能：  
            // 1. 第i-1天第一次卖出股票，第i天再次买入股票，利润为dp[i-1][2] - prices[i]  
            // 2. 第i-1天已经第二次买入股票，第i天未进行任何操作，利润与前一天相同  
            // 注意：这里不允许在第一次买入之前直接进行第二次买入，所以dp[i-1][0]和dp[i-1][3]不参与比较  
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][2] - prices[i], dp[i - 1][3]);  
  
            // 第i天第二次卖出股票，有两种可能：  
            // 1. 第i-1天第二次买入股票，第i天卖出股票，利润为dp[i-1][3] + prices[i]  
            // 2. 第i-1天已经第二次卖出股票，第i天未进行任何操作，利润与前一天相同  
            // 注意：这里不允许在第一次卖出之前直接进行第二次卖出，所以dp[i-1][0]、dp[i-1][1]和dp[i-1][2]不参与比较  
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][3] + prices[i], dp[i - 1][4]);  
        }  
  
        // 最后一天的最大利润就是dp[prices.length - 1][4]，即进行了两次交易后的最大利润  
        return dp[prices.length - 1][4];  
    }  
}

188.买卖股票的最佳时机IV

188. 买卖股票的最佳时机 IV

困难

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

1 <= k <= 100
1 <= prices.length <= 1000
0 <= prices[i] <= 1000

动规五部曲，分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

在动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)中，我是定义了一个二维dp数组，本题其实依然可以用一个二维dp数组。

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

0 表示不操作

1 第一次买入

2 第一次卖出

3 第二次买入

4 第二次卖出

.....

大家应该发现规律了吧，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

所以二维dp数组的C++定义为：

vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));

确定递推公式

还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]

操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]

操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可以类比剩下的状态，代码如下：

// 遍历每一种可能的交易次数  
for(int j = 1; j < 2 * k + 1; j++){  
    // 如果j是奇数（即买入股票）  
    if(j %2 == 1){  
        // 当前的最大利润要么是不进行这次交易（即保持前一天的最大利润），  
        // 要么是进行这次交易（即前一天的利润减去今天的股票价格）  
        dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] - prices[i]);  
        } else {  
            // 如果j是偶数（即卖出股票）  
            // 当前的最大利润要么是不进行这次交易（即保持前一天的最大利润），  
            // 要么是进行这次交易（即前一天的利润加上今天的股票价格）  
            dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] + prices[i]);  
    }  
}

本题和动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。

dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下：

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。

确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

188.买卖股票的最佳时机IV

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

class Solution {  
    // 定义方法maxProfit，接收两个参数：k表示最多交易次数，prices表示股票价格数组  
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {  
        // 创建一个二维数组dp，大小为prices的长度乘以2k+1  
        // dp[i][j]表示在第i天，进行j次交易（买入和卖出各算一次）时的最大利润  
        int[][] dp = new int[prices.length][2 * k + 1];  
  
        // 初始化：对于第0天，即dp[0]这一行，如果交易次数j是奇数（即买入股票）  
        // 则利润为-prices[0]（因为买入了股票，所以利润减少）  
        for(int j = 1; j < 2 * k; j += 2){  
            dp[0][j] = -prices[0];  
        }  
  
        // 遍历每一天  
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){  
            // 遍历每一种可能的交易次数  
            for(int j = 1; j < 2 * k + 1; j++){  
                // 如果j是奇数（即买入股票）  
                if(j %2 == 1){  
                    // 当前的最大利润要么是不进行这次交易（即保持前一天的最大利润），  
                    // 要么是进行这次交易（即前一天的利润减去今天的股票价格）  
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] - prices[i]);  
                } else {  
                    // 如果j是偶数（即卖出股票）  
                    // 当前的最大利润要么是不进行这次交易（即保持前一天的最大利润），  
                    // 要么是进行这次交易（即前一天的利润加上今天的股票价格）  
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] + prices[i]);  
                }  
            }  
        }  
  
        // 返回最后一天，进行2k次交易时的最大利润（即总的最大利润）  
        return dp[prices.length - 1][2 * k];  
    }  
}

309.买卖股票的最佳时机含冷冻期

309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期

中等

714.买卖股票的最佳时机含手续费

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

中等

提示

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

提示：

1 <= prices.length <= 5 * 104
1 <= prices[i] < 5 * 104
0 <= fee < 5 * 104

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]

所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况，依然可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee

所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

本题和动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。

class Solution {  
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {  
        // 初始化动态规划数组，大小为prices长度乘以2  
        // dp[i][0]表示第i天不持有股票时的最大利润  
        // dp[i][1]表示第i天持有股票时的最大利润  
        int[][] dp = new int[prices.length][2];  
  
        // 初始化第一天，不持有股票时的最大利润为0，持有股票时的最大利润为-prices[0]  
        dp[0][0] = 0;  
        dp[0][1] = -prices[0];  
  
        // 遍历每一天  
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){  
            // 第i天不持有股票时的最大利润  
            // 要么是前一天就不持有股票，今天没有进行任何操作（保持dp[i - 1][0]的值）  
            // 要么是前一天持有股票，今天卖出股票（利润为dp[i - 1][1] + prices[i]），但需要扣除交易费fee  
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i] - fee);  
  
            // 第i天持有股票时的最大利润  
            // 要么是前一天就持有股票，今天没有进行任何操作（保持dp[i - 1][1]的值）  
            // 要么是前一天不持有股票，今天买入股票（利润为dp[i - 1][0] - prices[i]）  
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);  
        }  
  
        // 返回最后一天的最大利润，即最后一天不持有股票时的最大利润  
        // 因为如果最后一天持有股票，那么无法在当天卖出获得利润  
        return dp[prices.length - 1][0];  
    }  
}