蓝桥杯2023年省A（一波三折的）【买瓜】折半搜索+剪枝+排序

news2024/12/24 8:46:11

题目：洛谷 P9234 [蓝桥杯 2023 省 A] 买瓜

折半搜索

一开始觉得像dp，试着写了，显然过不了，但我实在觉得搜索也过不了啊，去看题解，发现使用了折半搜索（每天都觉得啥都不会捏
折半搜索就是先搜一半，记录下答案，再搜一半，最后把答案整合在一起
比如这题，每个数有三种选法，复杂度3ⁿ，折半后就是2*3^n/2，大大降低了
但是这个复杂度还是过不了，后面就是不停优化剪枝

剪枝

剪枝1

当前和已经超过m (sum > m)

剪枝2

当前劈瓜次数已经超过历史最优 (k >= ans)

剪枝3

达到同样的和，曾经有过劈瓜数更小的方案 (mp.count(sum) && mp[sum] < k)

折半+剪枝（76分）
用unordered_map更快

#include <vector>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <map> 
#include <unordered_map>
#include <ctime> 
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 35;

ll a[N];
int ans = N;
unordered_map<ll, int> mp;//unordered_map更快
ll n, m;

void dfs1(int i, int k, ll sum)
{
	if (sum > m) return;//超了，剪
	if (k >= ans) return;
	if (sum == m)//到了，走了
	{
		ans = min(ans, k);
		return; 
	}
	if (mp.count(sum) && mp[sum] < k) return;//有过更优情况，剪！
	if (i > n / 2)//到头了，把搜到的东西记一下
	{
		//用map记录达到sum的砍刀数最小值
		if (mp.count(sum)) mp[sum] = min(mp[sum], k);
		else mp[sum] = k;
		return;
	}
	//先搜贡献大的更容易找到答案（大概吧
	dfs1(i + 1, k, sum + a[i] + a[i]);//整个
	dfs1(i + 1, k + 1, sum + a[i]);//半个
	dfs1(i + 1, k, sum); //不要
}

void dfs2(int i, int k, ll sum)
{
	if (sum > m) return;
	if (k >= ans) return;
	if (sum == m)
	{
		ans = min(ans, k);
		return; 
	}
	if (i > n)
	{
		//如果另一半有匹配的就更新答案
		if (mp.count(m - sum)) ans = min(ans, k + mp[m - sum]);
		return;
	}
	dfs2(i + 1, k, sum + a[i] + a[i]);
	dfs2(i + 1, k + 1, sum + a[i]);
	dfs2(i + 1, k, sum); 
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	m += m;//为了不出现小数，把a[i]当半个瓜用，那么m也要翻倍
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	dfs1(1, 0, 0);
	dfs2(n/2+1, 0, 0);
	if (ans == N) cout << -1;
	else cout << ans;

	return 0;
}

继续看题解，发现很重要的一点是要给数组排序
为什么呢，不知道，大家都不说
好像挺有道理的但是我说不出道理，先放着

加上sort之后A了

觉得自己无敌了吧？来看看这个
题目 3145: 蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-买瓜
欸~一模一样的代码只有82分
最后是怎么过的呢，要把数组从大到小排序
为什么呢
我的理解是，在搜第二段的时候，前面已经出现很多凑到m的情况，使ans变小了，所以第二段会被剪得更狠；相比之下第一段则几乎都要搜到头，所以重点在于要把第一段剪了。那有没有办法让第一段多剪掉一点呢，就让第一段都是大数，sum容易超过m，就会多多被剪了

加上从大到小排序：

sort(a + 1, a + n + 1, greater<int>());

正当我欢天喜地地准备结束这题的时候，我手欠地把从大到小版交到了洛谷
嘿——您猜怎么着？TLE了！
好吧我前边都是一顿瞎说（但我真是觉得有道理啊）
那只能是数据问题了，但是数据问题要怎么A啊！

剪枝4

后面我又翻看题解，发现了一个新的剪枝：
预处理后缀和，当前sum加上后缀和也够不到m的话就直接剪
注意这个剪枝只能在第一段中使用，因为第二段本身就要匹配第一段的答案，没法判断会不会不够

void dfs1(int i, int k, ll sum)
{
	if (sum > m) return;
	if (k >= ans) return;
	if (sum + suf[i] < m) return;//注意第i个还没加过，所以是判断sum + suf[i]
	if (sum == m)
	{
		ans = min(ans, k);
		return; 
	}
	if (i > n / 2)
	{
		if (mp.count(sum)) mp[sum] = min(mp[sum], k);
		else mp[sum] = k;
		return;
	}
	dfs1(i + 1, k, sum + a[i] + a[i]);
	dfs1(i + 1, k + 1, sum + a[i]);
	dfs1(i + 1, k, sum); 
}

还有个注意点，要sort之后再算后缀和（对就是我这么傻
以及因为我存的a[i]算半个瓜，算后缀和要算整个瓜，所以要加两次

sort(a + 1, a + n + 1, greater<int>()); 
	suf[n + 1] = 0;
	for (int i = n; i >= 1; i--)
	{
		suf[i] = suf[i + 1] + a[i] + a[i];
	}

贴一个两边都能A的代码

#include <vector>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <map> 
#include <unordered_map>
#include <ctime> 
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 35;

ll a[N], suf[N];
int ans = N;
unordered_map<ll, int> mp;
ll n, m;

void dfs1(int i, int k, ll sum)
{
	if (sum > m) return;//超了，剪
	if (k >= ans) return;
	if (sum + suf[i] < m) return;//注意第i个还没加过，所以是判断sum + suf[i]
	if (sum == m)//到了，走了
	{
		ans = min(ans, k);
		return; 
	}
	if (mp.count(sum) && mp[sum] < k) return;//有过更优情况，剪！
	if (i > n / 2)//到头了，把搜到的东西记一下
	{
		//用map记录达到sum的劈瓜数最小值
		if (mp.count(sum)) mp[sum] = min(mp[sum], k);
		else mp[sum] = k;
		return;
	}
	//先搜贡献大的更容易找到答案（大概吧
	dfs1(i + 1, k, sum + a[i] + a[i]);//整个
	dfs1(i + 1, k + 1, sum + a[i]);//半个
	dfs1(i + 1, k, sum); //不要
}

void dfs2(int i, int k, ll sum)
{
	if (sum > m) return;
	if (k >= ans) return;
	if (sum == m)
	{
		ans = min(ans, k);
		return; 
	}
	if (i > n)
	{
		//如果另一半有匹配的就更新答案
		if (mp.count(m - sum)) ans = min(ans, k + mp[m - sum]);
		return;
	}
	dfs2(i + 1, k, sum + a[i] + a[i]);
	dfs2(i + 1, k + 1, sum + a[i]);
	dfs2(i + 1, k, sum); 
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	m += m;//为了不出现小数，把a[i]当半个瓜用，那么m也要翻倍
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	//sort(a + 1, a + n + 1); 
	sort(a + 1, a + n + 1, greater<int>()); 
	suf[n + 1] = 0;
	for (int i = n; i >= 1; i--)
	{
		suf[i] = suf[i + 1] + a[i] + a[i];
	}
	dfs1(1, 0, 0);
	dfs2(n/2+1, 0, 0);
	if (ans == N) cout << -1;
	else cout << ans;
	
	return 0;
}