文章目录
- 1. 二叉搜索树的实现
- 2. 二叉搜索树的应用
- 3. 改造二叉搜索树为 KV 结构
- 4. 二叉搜索树的性能分析
1. 二叉搜索树的实现
namespace key
{
template<class K>
struct BSTreeNode
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
Node* _left;
Node* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
// 强制生成默认构造
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
}
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else
{
// 替换法
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMin == rightMinParent->_left)
{
rightMinParent->_left = rightMin->_right;
}
else
{
rightMinParent->_right = rightMin->_right;
}
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
bool FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
private:
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
bool _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else
{
return true;
}
}
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (root->_key < key)
{
return _InsertR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _InsertR(root->_left, key);
}
else
{
return false;
}
}
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key)
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
else
{
Node* del = root;
if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
}
else
{
Node* rightMin = root->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMin = rightMin->_left;
}
swap(root->_key, rightMin->_key);
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
return true;
}
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
2. 二叉搜索树的应用
-
K 模型：K 模型即只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词 word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
- 以词库中所有单词集合中的每个单词作为 key，构建一颗二叉搜索树；
- 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
-
KV 模型：每一个关键码 key，都有与之对应的值 value，即 <Key, Value> 的键值对。这种方式在现实生活中非常常见：
- 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文 <word, chinese> 就构成一种键值对；
- 再比如统计单词个数，统计成功后，给定单词就可以快速找到其出现的次数，单词与其出现次数 <word, count> 就构成一种键值对。
3. 改造二叉搜索树为 KV 结构
namespace key_value
{
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
Node* _left;
Node* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key, const V& value)
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
, _value(value)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else
{
// 替换法
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMin == rightMinParent->_left)
{
rightMinParent->_left = rightMin->_right;
}
else
{
rightMinParent->_right = rightMin->_right;
}
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
cout << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
测试代码：
namespace key_value
{
void TestBSTree1()
{
// 输入单词，查找单词对应的中文翻译
BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("tree", "树");
dict.Insert("left", "左边、剩余");
dict.Insert("right", "右边");
dict.Insert("sort", "排序");
// 插入词库中所有单词
string str;
while (cin >> str)
{
BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
if (ret == nullptr)
{
cout << "单词拼写错误，词库中没有这个单词:" << str << endl;
}
else
{
cout << str << "中文翻译:" << ret->_value << endl;
}
}
}
void TestBSTree2()
{
// 统计水果出现的次数
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
BSTree<string, int> countTree;
for (const auto& str : arr)
{
// 先查找水果在不在搜索树中
// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>
// 2、在，则查找到的节点中水果对应的次数++
//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
auto ret = countTree.Find(str);
if (ret == NULL)
{
countTree.Insert(str, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
}
}
4. 二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有 n 和节点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是节点在二叉搜索树的深度的函数，即节点越深，比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2N；
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N。
问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都能使二叉搜索树的性能达到最优？
答：可以使用 AVL树 和 红黑树 的特性，使单支树在达到一定深度时进行“旋转”，变回接近完全二叉树的形状，这个我们后面再谈。
