数据结构：算法的初步认识

news2025/1/22 16:15:59

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

什么是算法

要求你写一个求 1+2+3+…+100 结果的程序，你应该怎么写呢?
大多数人会马上写出下面的C语言代码(或者其他语言的代码):

int a, sum- o, n= 100;
for (1 = 1; 1 <= n; i++) {
	sum = sumt + i;
}
printf("%d", sum);

18世纪生于德国小村庄的伟大数学家高斯给出的答案是：

用程序来实现如下:

int i, sum = O, n = 100; 
 sum = (1 + n ) * n / 2;
 printf("%d", sum);

为了解快某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每一个操作都完成特定的功能，这就是算法了。（算法其实就是描述解决问题的方法。）

上面的的例子我们也看到，对于给定的问题，是可以有多种算法来解快的。
有没有通用的算法呢？有没有包治百病的药呀？现实世界中的问题千奇百怪，算法当然也就千变万化，没有通用的算法可以解决所有的问题。甚至解决一个小问题，很优秀的算法却不一定适合它。

算法的特性

算法具有五个基本特性:输人、输出、有穷性、确定性和可行性。

输入
算法具有零个或多个输入。大多数算法输入参数都是必要的，但对于个别情况，如打印hello world! 这样的代码，就不需要任何输入参数。
输出
算法至少有一个或多个输出。算法是一定需要输出的，不需要输出，你用这个算法干吗？输出的形式可以是打印输出，也可以是返回一个或多个值等。
有穷性
指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可按受的时间内完成。你写一个算法，计算机需要算上个二十年才会结束，它在数学意义上是有穷了，可是媳妇都熬成婆了，算法的意义也不就大了。
确定性
算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。相同的输入只能有唯一的输出结果。
可行性
算法的每一步都必须是可行的，都能够通过执行有限次数完成。可行性意味着算法可以转换为程序上机远行，并得到正确的结果。

算法设计的要求

算法不是唯一的，同一个问题，可以有多种解決问题的算法。尽管算法不唯一，相对好的算法还是存在的。

正确性
算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
可读性
算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
健壮性
当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
时间效率高和存储量低
设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。人们都希望花最少的钱，用最短的时间，办最大的事，算法也是一样的思想，最好用最少的存储空间，花最少的时间，办成同样的事就是好的算法。

综上，好的算法，应该具有正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量的特征。

算法时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级。
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

推导大 O 阶:

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常见的时问复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O( $n$ )	线性阶
3 $n^{2}$ +2n+3	O( $n$ )	平方阶
5 $log_{2}$ n+20	O(log $n$ )	对数阶
2n+3n $log_{2}$ n+19	O( $n$ log $n$ )	nlogn 阶
6 $n^{3}$ +2 $n^{2}$ +3n+4	O( $n^{3}$ )	立方阶
$2^{n}$	O( $2^{n}$ )	指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:
O(1)<O(log $n$ )<O( $n$ )<O( $n$ log $n$ )<O( $n^{2}$ )<O( $n^{3}$ )<O( $2^{n}$ )<O( $n$ !)<O( $n^{n}$ )

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

算法空间复杂度

我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组（年数略比现实多一点），然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。