343. 整数拆分

中等
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。

但是dp[0] 和 dp[1]为什么是0值得讨论，或者说不用讨论，压根就用不着这俩数，for (int j = 1; j < i; j++)可以改成for (int j = 1; j < i - 1; j++)，然后初始化dp【2】= 1。for (int i = 3; i <= n; i++) i 直接从3开始算起。

// 更新的是dp[i], 而j比i小，dp[j]都是之前存好的，j根本不需要从0遍历到i-1。
class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int dp[] = new int[n + 1];
        // 0 不是正整数，1 是最小的正整数，0 和 1 都不能拆分，因此 dp[0]=dp[1]=0

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j])); //dp[i - j]比dp[i]早几步算出，所以不必担心
                // 这里为什么还要比较dp[i]呢，是因为max(j*(i-j), j*dp[i-j])
                // 是相对于单独一个固定的j来说的，而j是从1到i-1的，
                // 所以要比较所有的j对应的dp[i]，从中取最大的
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

96. 不同的二叉搜索树

中等
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1]; // i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
        dp[0] = 1;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                //对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加
                //一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}