除了上一篇文章介绍的RMSProp算法以外，另一个常用优化算法AdaDelta算法也针对AdaGrad算法在迭代后期可能较难找到有用解的问题做了改进 。比较有意思的是，AdaDelta算法没有学习率这一超参数。

1. AdaDelta算法介绍

AdaDelta算法也像RMSProp算法一样，使用了小批量随机梯度${\mathbf{g}}_t$按元素平方的指数加权移动平均变量${\mathbf{s}}_t$。在时间步0，它的所有元素被初始化为0。给定超参数$0\le \rho <1$（对应RMSProp算法中的$\gamma$），在时间步$t>0$，同RMSProp算法一样计算

$${\mathbf{s}}_t\leftarrow \rho {\mathbf{s}}_{t-1}+(1-\rho ){\mathbf{g}}_t\odot {\mathbf{g}}_t.$$

与RMSProp算法不同的是，AdaDelta算法还维护一个额外的状态变量$\Delta {\mathbf{x}}_t$，其元素同样在时间步0时被初始化为0。我们使用$\Delta {\mathbf{x}}_{t-1}$来计算自变量的变化量：

$${\mathbf{g}}_t^{\prime }\leftarrow \sqrt{\frac{\Delta {\mathbf{x}}_{t-1}+ϵ}{{\mathbf{s}}_t+ϵ}}\odot {\mathbf{g}}_t,$$

其中$ϵ$是为了维持数值稳定性而添加的常数，如$10^{-5}$。接着更新自变量：

$${\mathbf{x}}_t\leftarrow {\mathbf{x}}_{t-1}-{\mathbf{g}}_t^{\prime }.$$

最后，我们使用$\Delta {\mathbf{x}}_t$来记录自变量变化量${\mathbf{g}}_t^{\prime }$按元素平方的指数加权移动平均：

$$\Delta {\mathbf{x}}_t\leftarrow \rho \Delta {\mathbf{x}}_{t-1}+(1-\rho ){\mathbf{g}}_t^{\prime }\odot {\mathbf{g}}_t^{\prime }.$$

可以看到，如不考虑$ϵ$的影响，AdaDelta算法跟RMSProp算法的不同之处在于使用$\sqrt{\Delta {\mathbf{x}}_{t-1}}$来替代学习率$\eta$。

2. 从零实现AdaDelta算法

AdaDelta算法需要对每个自变量维护两个状态变量，即${\mathbf{s}}_t$和$\Delta {\mathbf{x}}_t$。我们按AdaDelta算法中的公式实现该算法。

%matplotlib inline
import torch
import sys 
import d2lzh_pytorch as d2l

features, labels = d2l.get_data_ch7()

def init_adadelta_states():
    s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    delta_w, delta_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta) in zip(params, states):
        s[:] = rho * s + (1 - rho) * (p.grad.data**2)
        g =  p.grad.data * torch.sqrt((delta + eps) / (s + eps))
        p.data -= g
        delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g

使用超参数$\rho =0.9$来训练模型。

d2l.train_ch7(adadelta, init_adadelta_states(), {'rho': 0.9}, features, labels)

输出：

loss: 0.243728, 0.062991 sec per epoch

3. Pytorch简洁实现AdaDelta算法—optim.Adadelta

通过名称为Adadelta的优化器方法，我们便可使用PyTorch提供的AdaDelta算法。它的超参数可以通过rho来指定。

d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adadelta, {'rho': 0.9}, features, labels)

输出：

loss: 0.242104, 0.047702 sec per epoch

总结

• AdaDelta算法没有学习率超参数，它通过使用有关自变量更新量平方的指数加权移动平均的项来替代RMSProp算法中的学习率。

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