一、数字三角形模型

1、什么是数字三角形模型

数字三角形模型常见于一个图中，而我们要做的决策是每一步往哪里走。那么这种题转移方程的书写思路是：**图中的哪几个点能够转移到当前的点。**然后我们根据题目的需要在选出一个符合题目要求的作为当前状态的答案。

二、例题

1、AcWing 1015. 摘花生

（1）问题

（2）思路

状态表示

$f(i,j)$表示从起点走到坐标为$(i,j)$的点的时候，所携带的最大花生数目。

状态转移

由于一个点只能往右走或者往下走，所以能够走到$(i,j)$的点是左边的$(i-1,j)$和上面的$(i,j-1)$，所以我们就能够利用这两个点写出转移方程：
$$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])+w[i][j]$$

循环设计

循环主要涉及到$j$和$i$，所以要么i嵌套j，要么j嵌套i，根据我们的转移方程，无论我们怎么枚举都可以都提前计算出子问题。因此，看自己喜好就行了。

但是还涉及到了i-1，j-1的问题，这种情况下，我们为了防止越界，可以用很好理解的方式，就是加上if语句特殊判断就行了。

但是由于这道题我们每个空最小值就是0，因此我们可以从1开始记录数据，这样0的位置存在的都是0，这是不影响答案的。

初末状态

这道题的初始状态就是没有捡花生的时候的数量，很明显是0，所以不用初始化了。
最后的状态就是走到了（n,n）这个点，即f[n][n]

（3）代码

#include<iostream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int w[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T -- )
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                scanf("%d", &w[i][j]);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + w[i][j];

        printf("%d\n", f[n][m]);
    }
    return 0;
}

2、AcWing 1018. 最低通行费

（1）问题

（2）思路

这道题无非就是上一道题的思路从最大值到最小值，但是上一道题因为是最大值，所以边界初始化为0是可以的，但是这道题的话我们要求的是最小值，为了不让边界影响到答案，我们需要初始化为正无穷。

同时还要特殊判断一下左上角。

（3）代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int g[N][N],f[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    for(int i=0;i<=n;i++)f[0][i]=0x3f3f3f3f,f[i][0]=0x3f3f3f3f;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(i==1&&j==1)
            f[i][j]=g[i][j];
        else    
            f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j-1])+g[i][j];
    cout<<f[n][n]<<endl;
    return 0;
}

3、AcWing 1027. 方格取数

（1）问题

（2）思路

这道题的话，唯一的不同的是走两遍，这里我们的思路是我们让两条路同时走，可以走到相同的位置，但是同一个位置的数字只能取一次。

因为同时记录两个点，所以我们需要控制四个变量，即4维数组。

但是方程的书写思路不变，依旧是看哪几个点能走到当前位置，那么一条路的时候有两个，两条路的时候自然就有4个点。

大家可以自己思考怎么写，具体方程见代码。

（3）代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=15;
int w[N][N];
int f[N][N][N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int a,b,c;
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a||b||c)
        w[a][b]=c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
                for(int m=1;m<=n;m++)
                {
                    int t=w[i][j];
                    if(i!=k||j!=m)t+=w[k][m];
                    int&x=f[i][j][k][m];
                    x=max(x,f[i-1][j][k-1][m]+t);
                    x=max(x,f[i-1][j][k][m-1]+t);
                    x=max(x,f[i][j-1][k-1][m]+t);
                    x=max(x,f[i][j-1][k][m-1]+t);
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[n][n][n][n]<<endl;
    return 0;
}

4、AcWing 275. 传纸条

（1）问题

（2）思路

这道题和刚刚的题目思路是一样的，但是刚刚那道题是可以经过同一个点，但是不能取两遍数字。

但是这道题，每个点只能经过一遍，因此我们每次需要判断一下，我们当前状态所对的两个点是否相同。

（3）代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=60;
int g[N][N];
int f[N][N][N][N];
int n,m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            for(int p=1;p<=n;p++)
            {
                for(int q=1;q<=m;q++)
                {
                    if(i==p&&j==q)continue;
                    int t=g[i][j]+g[p][q];
                    int &x=f[i][j][p][q];
                    x=max(x,f[i-1][j][p-1][q]+t);
                    x=max(x,f[i][j-1][p][q-1]+t);
                    if(i-1!=p&&j!=q-1)
                        x=max(x,f[i-1][j][p][q-1]+t);
                    if(i!=p-1&&j-1!=q)
                        x=max(x,f[i][j-1][p-1][q]+t);
                }
            }
        }
    }
    cout<<max(f[n-1][m][n][m-1],f[n][m-1][n-1][m])<<endl;
    return 0;
}