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最优化算法（2）---《基于模拟退火算法（SA）的TSP（Python实现）》
基于模拟退火算法（SA）的TSP（Python实现）
目录
基于模拟退火算法（SA）的TSP（Python实现）
1.项目介绍
算法介绍：
算法的核心思想包括以下几个方面：
SA算法求解TSP的基本思路包括：
2.程序代码
3.运行结果
1.项目介绍
基于模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）的TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题），我们涉及一种用于解决TSP的启发式优化方法。TSP是一个经典的组合优化问题，旨在寻找一条最短路径，使得旅行商可以访问每个城市恰好一次并返回起点城市。
算法介绍：
模拟退火算法（SA）是一种经典的全局优化算法，其灵感来自固体材料的退火过程。在物理学中，高温下的固体粒子具有较高的动能，可以跳出局部能量最小值，而随着温度降低，粒子逐渐趋向稳定状态。这种原理启发了模拟退火算法的设计思想，即通过在初始阶段接受较差解的方式，逐渐减小接受较差解的概率，从而逼近全局最优解。
在TSP问题上，SA算法通过定义合适的状态空间和能量函数，并结合退火策略，能够很好地应用于寻找最优旅行路径。初始解可以通过随机生成初始路径得到，状态空间可以定义为对当前路径进行微小的变化（如交换城市顺序），而能量函数通常是路径长度的计算。退火策略包括控制温度参数和退火速度，以在搜索空间中进行状态的变化，并逐步接近最优解。
在SA算法求解TSP时，关键的一点是合理设置退火过程中的温度下降速率和终止条件，以确保算法能够在合理的时间内收敛到较优解。
算法的核心思想包括以下几个方面：
- 初始解：随机生成初始旅行路径
- 状态空间：定义了TSP解空间中可行解之间的相邻关系，如通过交换、翻转等操作生成新的解
- 能量函数：通常是TSP问题中路径长度的计算，用于评估每个解的质量
- 退火策略：通过控制温度参数和退火速度，在搜索空间中进行状态的变化，从而逐步接近最优解
SA算法求解TSP的基本思路包括：
- 初始化：随机生成初始路径
- 退火过程：在退火过程中，根据能量函数和温度参数，接受或拒绝新的解，并降低温度以逐步收敛到全局最优解
- 终止条件：达到预设的迭代次数或满足特定条件时结束搜索，返回最优路径
通过利用SA算法求解TSP问题，可以有效地寻找到较为优秀的旅行路线，尽管无法保证找到全局最优解，但通常能够获得接近最优解的结果。
2.程序代码
""""
题目：基于模拟退火算法的TSP
姓名：Rainbook
最终修改时间：2023.12.30
"""
import math # 导入模块 math
import random # 导入模块 random
import pandas as pd # 导入模块 pandas 并简写成 pd
import numpy as np # 导入模块 numpy 并简写成 np YouCans
import matplotlib.pyplot as plt # 导入模块 matplotlib.pyplot 并简写成 plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei'] # 使用微软雅黑字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 处理负号显示异常
np.set_printoptions(precision=4)
pd.set_option('display.max_rows', 20)
pd.set_option('expand_frame_repr', False)
pd.options.display.float_format = '{:,.2f}'.format
# 子程序：初始化模拟退火算法的控制参数
def initParameter():
tInitial = 100.0 # 设定初始退火温度(initial temperature)
tFinal = 1 # 设定终止退火温度(stop temperature)
nMarkov = 1000 # Markov链长度，也即内循环运行次数
alfa = 0.98 # 设定降温参数，T(k)=alfa*T(k-1)
return tInitial, tFinal, alfa, nMarkov
# 子程序：读取TSPLib数据
def read_TSPLib(fileName):
res = []
with open(fileName, 'r') as fid:
for item in fid:
if len(item.strip())!=0:
res.append(item.split())
loadData = np.array(res).astype('int') # 数据格式：i Xi Yi
City = loadData[:,1::]
return City
# 子程序：计算各城市间的距离，得到距离矩阵
def getDistMat(nCities, City):
distMat = np.zeros((nCities,nCities)) # 初始化距离矩阵
for i in range(nCities):
for j in range(i,nCities):
# np.linalg.norm 求向量的范数（默认求 二范数），得到 i、j 间的距离
distMat[i][j] = distMat[j][i] = round(np.linalg.norm(City[i]-City[j]))
return distMat # 城市间距离取整（四舍五入）
# 子程序：计算 TSP 路径长度
def calTourMileage(tourGiven, nCities, distMat):
mileageTour = distMat[tourGiven[nCities-1], tourGiven[0]] # dist((n-1),0)
for i in range(nCities-1): # dist(0,1),...dist((n-2)(n-1))
mileageTour += distMat[tourGiven[i], tourGiven[i+1]]
return round(mileageTour) # 路径总长度取整（四舍五入）
# 绘制 TSP 路径图
def plot_tour(tour, value, City):
num = len(tour)
x0, y0 = City[tour[num - 1]]
x1, y1 = City[tour[0]]
plt.scatter(int(x0), int(y0), s=15, c='r') # 绘制城市坐标点 C(n-1)
plt.plot([x1, x0], [y1, y0], c='b') # 绘制旅行路径 C(n-1)~C(0)
for i in range(num - 1):
x0, y0 = City[tour[i]]
x1, y1 = City[tour[i + 1]]
plt.scatter(int(x0), int(y0), s=15, c='r') # 绘制城市坐标点 C(i)
plt.plot([x1, x0], [y1, y0], c='b') # 绘制旅行路径 C(i)~C(i+1)
plt.xlabel("Total mileage of the tour:{:.1f}".format(value))
plt.title("Optimization tour of TSP{:d}".format(num)) # 设置图形标题
plt.show()
# 交换操作算子
def mutateSwap(tourGiven, nCities):
# 在 [0,n) 产生 2个不相等的随机整数 i,j
i = np.random.randint(nCities) # 产生第一个 [0,n) 区间内的随机整数
while True:
j = np.random.randint(nCities) # 产生一个 [0,n) 区间内的随机整数
if i!=j: break # 保证 i, j 不相等
tourSwap = tourGiven.copy() # 将给定路径复制给新路径 tourSwap
tourSwap[i], tourSwap[j] = tourGiven[j],tourGiven[i] # 交换 城市 i 和 j 的位置————简洁的实现方法
return tourSwap
def SA_TSP(coordinates ):
# 模拟退火算法参数设置
tInitial,tFinal,alfa,nMarkov = initParameter() # 调用子程序，获得设置参数
nCities = coordinates.shape[0] # 根据输入的城市坐标 获得城市数量 nCities
distMat = getDistMat(nCities, coordinates) # 调用子程序，计算城市间距离矩阵
nMarkov = nCities # Markov链 的初值设置
tNow = tInitial # 初始化 当前温度(current temperature)
# 初始化准备
tourNow = np.arange(nCities) # 产生初始路径，返回一个初值为0、步长为1、长度为n 的排列
valueNow = calTourMileage(tourNow,nCities,distMat) # 计算当前路径的总长度 valueNow
tourBest = tourNow.copy() # 初始化最优路径，复制 tourNow
valueBest = valueNow # 初始化最优路径的总长度，复制 valueNow
recordBest = [] # 初始化 最优路径记录表
recordNow = [] # 初始化 最优路径记录表
# 开始模拟退火优化过程
iter = 0 # 外循环迭代次数计数器
while tNow >= tFinal: # 外循环，直到当前温度达到终止温度时结束
# 在当前温度下，进行充分次数(nMarkov)的状态转移以达到热平衡
for k in range(nMarkov): # 内循环，循环次数为Markov链长度
# 产生新解：
tourNew = mutateSwap(tourNow, nCities) # 通过 交换操作 产生新路径
valueNew = calTourMileage(tourNew,nCities,distMat) # 计算当前路径的总长度
deltaE = valueNew - valueNow
# 接受判别：按照 Metropolis 准则决定是否接受新解
if deltaE < 0: # 更优解：如果新解的目标函数好于当前解，则接受新解
accept = True
if valueNew < valueBest: # 如果新解的目标函数好于最优解，则将新解保存为最优解
tourBest[:] = tourNew[:]
valueBest = valueNew
else: # 容忍解：如果新解的目标函数比当前解差，则以一定概率接受新解
pAccept = math.exp(-deltaE/tNow) # 计算容忍解的状态迁移概率
if pAccept > random.random():
accept = True
else:
accept = False
# 保存新解
if accept == True: # 如果接受新解，则将新解保存为当前解
tourNow[:] = tourNew[:]
valueNow = valueNew
# 平移当前路径，以解决变换操作避开 0,（n-1）所带来的问题，并未实质性改变当前路径。
tourNow = np.roll(tourNow,2) # 循环移位函数，沿指定轴滚动数组元素
# 完成当前温度的搜索，保存数据和输出
recordBest.append(valueBest) # 将本次温度下的最优路径长度追加到 最优路径记录表
recordNow.append(valueNow) # 将当前路径长度追加到 当前路径记录表
print('迭代次数i:{}, 当前温度(i):{:.2f}, 当前路径长度:{:.1f}, 最优路径长度:{:.1f}'.format(iter+1, tNow, valueNow, valueBest))
# 缓慢降温至新的温度，
iter = iter + 1
tNow = tNow * alfa # 指数降温曲线：T(k)=alfa*T(k-1)
return tourBest
def Draw_City(City, X):
X = list(X)
X.append(X[0]) # 再最后再回到出发的城市
coor_x = []
coor_y = []
for i in X:
i = int(i)
coor_x.append(City[i][0]) # 按照最优路径顺序将所有城市的x轴坐标写入coor_x中
coor_y.append(City[i][1])
plt.figure(1)
for i in range(len(X) - 1):
plt.quiver(coor_x[i], coor_y[i], coor_x[i + 1] - coor_x[i], coor_y[i + 1] - coor_y[i],
color='r', width=0.005, angles='xy', scale=1, scale_units='xy')
plt.quiver(coor_x[-1], coor_y[-1], coor_x[0] - coor_x[-1], coor_y[0] - coor_y[-1],
color='r', width=0.005, angles='xy', scale=1, scale_units='xy')
plt.title('基于模拟退火算法的TSP')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
# 随机生成城市信息
nCity = 50
City = np.random.uniform(0, 2000, [nCity, 2]) # uniform()生成nCity个二维数组，数值范围是0到2000
# 执行算法
Best_X = SA_TSP(City)
# 画路径图
Draw_City(City, Best_X)
3.运行结果
参考资料来源：CSDN、百度搜索、维基百科等
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