二分搜索被定义为一种在排序数组中使用的搜索算法，通过重复将搜索间隔一分为二。二分查找的思想是利用数组已排序的信息，将时间复杂度降低到O(log N)。
二分查找算法示例
何时在数据结构中应用二分查找的条件：
应用二分查找算法：
1、数据结构必须是有序的。
2、访问数据结构的任何元素都需要恒定的时间。
二分查找算法：
在这个算法中， 通过查找中间索引“mid”将搜索空间分为两半。
在二分查找算法中查找中间索引“mid”
1、将搜索空间的中间元素与键进行比较。
2、如果在中间元素找到密钥，则过程终止。
3、如果在中间元素没有找到键，则选择哪一半将用作下一个搜索空间。
3.1、如果键小于中间元素，则使用左侧进行下一步搜索。
3.2、如果键大于中间元素，则使用右侧进行下一步搜索。
4、这个过程一直持续到找到密钥或者总搜索空间耗尽为止。
二分查找如何工作？
要了解二分搜索的工作原理，请考虑下图：
考虑一个数组arr[] = {2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91}，目标 = 23。
第一步：计算mid并将mid元素与key进行比较。如果键小于 mid 元素，则向左移动，如果大于 mid 则将搜索空间向右移动。
键（即 23）大于当前中间元素（即 16）。搜索空间向右移动。
二分查找算法：将键与 16 进行比较
密钥小于当前的中间 56。搜索空间向左移动。
二分查找算法：将键与 56 进行比较
第二步：如果key与mid元素的值匹配，则找到该元素并停止搜索。
二分搜索算法：与 mid 的关键匹配
如何实现二分查找？
二分查找算法可以通过以下两种方式实现
1、迭代二分搜索算法
2、递归二分查找算法
下面给出了这些方法的伪代码。
1.迭代二分查找算法：
这里我们使用 while 循环来继续比较键并将搜索空间分成两半的过程。
迭代二分搜索算法的实现：
// C++ program to implement iterative Binary Search
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// An iterative binary search function.
int binarySearch(int arr[], int l, int r, int x)
{
while (l <= r) {
int m = l + (r - l) / 2;
// Check if x is present at mid
if (arr[m] == x)
return m;
// If x greater, ignore left half
if (arr[m] < x)
l = m + 1;
// If x is smaller, ignore right half
else
r = m - 1;
}
// If we reach here, then element was not present
return -1;
}
// Driver code
int main(void)
{
int arr[] = { 2, 3, 4, 10, 40 };
int x = 10;
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int result = binarySearch(arr, 0, n - 1, x);
(result == -1)
? cout << "Element is not present in array"
: cout << "Element is present at index " << result;
return 0;
}
输出
元素出现在索引 3 处
时间复杂度： O(log N)
辅助空间： O(1)
2.递归二分查找算法：
创建一个递归函数并将搜索空间的中间部分与键进行比较。并根据结果返回找到键的索引或调用下一个搜索空间的递归函数。
递归二分查找算法的实现：
// C++ program to implement recursive Binary Search
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// A recursive binary search function. It returns
// location of x in given array arr[l..r] is present,
// otherwise -1
int binarySearch(int arr[], int l, int r, int x)
{
if (r >= l) {
int mid = l + (r - l) / 2;
// If the element is present at the middle
// itself
if (arr[mid] == x)
return mid;
// If element is smaller than mid, then
// it can only be present in left subarray
if (arr[mid] > x)
return binarySearch(arr, l, mid - 1, x);
// Else the element can only be present
// in right subarray
return binarySearch(arr, mid + 1, r, x);
}
// We reach here when element is not
// present in array
return -1;
}
// Driver code
int main()
{
int arr[] = { 2, 3, 4, 10, 40 };
int x = 10;
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int result = binarySearch(arr, 0, n - 1, x);
(result == -1)
? cout << "Element is not present in array"
: cout << "Element is present at index " << result;
return 0;
}
输出
元素出现在索引 3 处
二分查找的复杂度分析：
时间复杂度：
最佳情况：O(1)
平均情况：O(log N)
最坏情况：O(log N)
辅助空间：
O(1)，如果考虑递归调用栈则辅助空间为O(logN)。
二分查找的优点：
二分查找比线性查找更快，特别是对于大型数组。
比具有类似时间复杂度的其他搜索算法（例如插值搜索或指数搜索）更有效。
二分搜索非常适合搜索存储在外部存储器（例如硬盘驱动器或云中）中的大型数据集。
二分查找的缺点：
数组应该是排序的。
二分查找要求将要查找的数据结构存储在连续的内存位置中。
二分查找要求数组的元素是可比较的，这意味着它们必须能够排序。
二分查找的应用：
二分搜索可以用作机器学习中使用的更复杂算法的构建块，例如训练神经网络或查找模型的最佳超参数的算法。
它可用于计算机图形学中的搜索，例如光线追踪或纹理映射的算法。
它可用于搜索数据库。
