算法：

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

动规五步曲：

1.确定dp数组以及下标：

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2.确定dp公式

dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

dp[j] += dp[j - coins[i]];

求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3.dp数组初始化

组合-累加-dp[0]=1,一定不能为0

首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

4.确定遍历顺序

对于普通的完全背包问题：完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。

但本题就不行了！

因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

5.举例推导dp数组

coins.size=3,amount=5

i=0:

j=coins[0]=1;j<=5;j++{

• j=1:dp[1]=dp[1-1]+dp[1]=0+1=1
• j=2:dp[2]=dp[1]+dp[2]=1+0=1
• 。
• 。
• 。
• j=5 dp[5]=dp[4]+dp[5]=1+0=1}

i=1:

j=coins[1]=2;j<=5;j++{

j=2:dp[2]=dp[2]+dp[2-2]=1+1=2

j=3:dp[3]=dp[3]+dp[1]=1+1=2

。。。。}

正确代码：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int [amount+1];
        dp[0] = 1;
        //其他dp值（除了0以外的），dp[i]=0
        for(int i=0; i<coins.length; i++){
            for(int j=coins[i]; j<=amount; j++){
                dp[j] += dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];

    }
}

注意：

dp[0]=1,dp[i]=0（i !=0）

//初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
        dp[0] = 1;

时间空间复杂度：

• 时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
• 空间复杂度: O(m)