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一、贝叶斯简介

贝叶斯主要解决的问题是“逆概”问题，那么什么是正向概率什么是逆向概率呢，下面给出解释：

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二、贝叶斯公式推导

贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 发展，用来描述两个条件概率之间的关系，比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法则，可以立刻导出：P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。如上公式也可变形为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。

下面举一个例子来推导贝叶斯公式：

解答如下：

最终得到贝叶斯公式如下：

$$P(A|B)=\frac{P(A)\times P(B|A)}{P(B)}$$

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三、拼写纠正案例

问题描述如下：
例如，用户拼写 thr ，我们猜测他可能想拼写 the

根据贝叶斯公式，我们可以得到如下结论：

由于用户实际输入的单词是已知的，所以P(D)是一个常数，所以上式的P(D)其实可以忽略。
P(h)是我们猜测词可能出现的概率，这个概率可以通过从一个庞大的语料库中统计获取
P(D|h)是当用户实际像输入的词是h时，用户输入D的概率。假设D是thr，h是the，那么P(D|h)我们可以通过计算thr要通过多少步的增删改操作才能变为the，所需要的步数越少，P(D|h)概率越大。

其中，P(h)又叫先验概率，是我们从庞大语料库中可以获取到的已知概率

贝叶斯和最大似然的区别在于，最大似然的结果由数据决定，而贝叶斯的结果由先验概率决定。例如，抛硬币游戏，前一百次都抛了正面，最大似然会认为下一次抛肯定还是正面。但是贝叶斯由于有先验概率的存在，无论如何他都认为下一次抛出正面的概率是0.5。

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四、垃圾邮件过滤案例

4.1 问题描述

问题的相关描述如下：

4.2 朴素贝叶斯引入

一封邮件里有很多单词，从实际出发，第二个词出现的概率其实是受第一个词的影响的。所以将P(d1,d2,…,dn|h+)扩展之后的公式如下所示：

像上面那样展开的话就会导致计算非常复杂，为了简化计算，我们可以假设相邻词之间是独立无关的，这样就可以将展开后的式子简化为下图所示的式子（朴素贝叶斯就是比贝叶斯多了独立无关这个假设）：

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五、基于朴素贝叶斯的垃圾邮件过滤实战

本章节的完整代码和邮件数据集的链接为：Python代码实现基于朴素贝叶斯算法的垃圾邮件分类

5.1 导入相关库

import numpy as np
import re
import random

5.2 邮件数据读取

下面是数据集的截图（每一行代表一封邮件），格式为：邮件类别\t邮件内容

# 数据预处理操作（词的切分、词转化为小写）
def text_parse(input_str):
    word_list = re.split(r"\W+", input_str)
    return [word.lower() for word in word_list if len(word_list) > 2 and len(word) > 0]


# 获取数据
def read_data():
    doc_list = []
    class_list = []
    with open("./data/SMS.txt", "r", encoding="utf-8") as file:
        datas = file.read()
        # print(data)
        datas = datas.split("\n")
        for data in datas:
            # label = ham 代表 正常邮件 ， label = spam 代表垃圾邮件
            label, text = data.split("\t")
            doc_list.append(text_parse(text))
            # 0：正常邮件，1：垃圾邮件
            class_list.append(0 if label == "ham" else 1)
    return doc_list, class_list

5.3 构建语料表（字典）

# 构建语料表
def create_vocabulary_list(doc_list):
    vocabulary_set = set([])
    for document in doc_list:
        vocabulary_set = vocabulary_set | set(document)
    return list(vocabulary_set)

5.4 构建训练集的特征向量

# 将一篇邮件转化为 类似 One-Hot 的向量，长度和 vocabulary_list 一样，为 1 的位置代表该单词在该邮件中出现了
def set_of_word2vector(vocabulary_list, document):
    vec = [0 for _ in range(len(vocabulary_list))]
    for word in document:
        index = vocabulary_list.index(word)
        if index >= 0:
            vec[index] = 1
    return vec
    
train_matrix = []
train_class = []
for train_index in train_index_set:
    train_matrix.append(set_of_word2vector(vocabulary_list, doc_list[train_index]))
    train_class.append(class_list[train_index])

5.5 朴素贝叶斯算法计算概率

回顾一下，我们用贝叶斯算法进行垃圾邮件分类时，其实就是比较 $P(h_{+}|D)$ 和 $P(h_{-}|D)$ 的大小，如果 $P(h_{+}|D)$ 大，则表示该邮件更有可能是垃圾邮件，否则更有可能是正常邮件。

$$\begin{gathered} P(h_{+}|D)=P(h_{+})\times P(D|h_{+})÷P(D) \\ P(h_{-}|D)=P(h_{-})\times P(D|h_{-})÷P(D) \end{gathered}$$

又因为，在针对某封邮件做预测时，$P(D)$ 可以看作常数，因而可以忽略，从而得到简化后的公式如下（其实下面式子写等号不严谨，应该是正比于，但是为了方便，后面都将正比于简化为等号）：

$$\begin{gathered} P(h_{+}|D)=P(h_{+})\times P(D|h_{+}) \\ P(h_{-}|D)=P(h_{-})\times P(D|h_{-}) \end{gathered}$$

其中，$P(h_{+})$ 为训练集中垃圾邮件的比率，$P(h_{-})$为训练集中正常邮件的比率，它们两个就是先验概率。

显然，$P(h_{+})+P(h_{-})=1$，因此，下面我们可以只计算$P(h_{+})$，用变量 p_spam 表示，$P(h_{+})$ 可以根据训练集很轻易地得到

又因为朴素贝叶斯假设任意两个词之间是独立无关的，所以可以将 $P(D|h_{+})$ 和 $P(D|h_{-})$ 展开如下：

$$\begin{gathered} P(D|h_{+})=P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+}) \\ P(D|h_{-})=P(d_1|h_{-})\times P(d_2|h_{-})\times ...\times P(d_n|h_{-}) \end{gathered}$$

其中 $d_n$ 代表邮件$D$中的第 $n$ 个单词。$P(d_n|h_{+})$ 表示邮件$D$中的第 $n$ 个单词在垃圾邮件中出现的概率。所以有：

$$\begin{gathered} P(d_n|h_{+})=\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})} \\ P(d_n|h_{-})=\frac{C(d_n|h_{-})}{C(h_{-})} \end{gathered}$$

其中 $C(d_n|h_{+})$ 表示邮件$D$中的第 $n$ 个单词在垃圾邮件中出现的次数；$C(d_n|h_{-})$ 表示表示邮件$D$中的第 $n$ 个单词在正常邮件中出现的次数；$C(h_{+})$ 表示垃圾邮件中的总单词数，$C(h_{-})$ 表示正常邮件中的总单词数。根据上式，可以推导出：

$$\begin{gathered} P(D|h_{+})=\frac{C(d_1|h_{+})}{C(h_{+})}\times \frac{C(d_2|h_{+})}{C(h_{+})}\times ...\times \frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})} \\ P(D|h_{-})=\frac{C(d_1|h_{-})}{C(h_{-})}\times \frac{C(d_2|h_{-})}{C(h_{-})}\times ...\times \frac{C(d_n|h_{-})}{C(h_{-})} \end{gathered}$$

下面的代码中，我并没有直接计算出 $P(D|h_{+})$ 和 $P(D|h_{-})$，而是计算出了 $\frac{C(d_1|h_{+})}{C(h_{+})}、\frac{C(d_2|h_{+})}{C(h_{+})}、...、\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 和 $\frac{C(d_1|h_{-})}{C(h_{-})}、\frac{C(d_2|h_{-})}{C(h_{-})}、...、\frac{C(d_n|h_{-})}{C(h_{-})}$，并把它们分别存在了两个列表中（p_spam_vec 和 p_ham_vec）

以计算 $\frac{C(d_1|h_{+})}{C(h_{+})}、\frac{C(d_2|h_{+})}{C(h_{+})}、...、\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 为例，在计算它们的过程中用到了两个辅助变量 p_spam_molecule 和 p_spam_denominator，分别代表 $\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 的分子和分母。

但是按照上面的公式，有一些时候会出问题。下面进行问题说明和解决方案的阐述：

问题一：假设某个单词没有出现在垃圾邮件中，意味着 $C(d_n|h_{+})=0$，即 $P(d_n|h_{+})=0$。又因为 $P(D|h_{+})=P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+})$ 是连乘的，所以只要一个元素为0，那么最终 $P(D|h_{+})$ 就为0。

问题二：假设训练集中没有垃圾邮件，意味着 $C(h_{+})=0$，即公式 $P(d_n|h_{+})=\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 的分母为0，此时作除法是会引发异常的

为了解决上述两个问题，我们在下面的代码中做了平滑处理，又叫做拉普拉斯平滑。

针对问题一：我们假设 $C(d_n|h_{+})$ 至少为 1，所以下面代码中用了 np.ones() 函数对分子进行初始化，而不是用 np.zeros()

针对问题二：我们假设 $C(h_{+})$ 至少为 m（m通常为该分类任务中的类别数量，例如在垃圾邮件分类中，只有垃圾和正常两种邮件，所以m为2）

以此类推，对于 $C(d_n|h_{-})$ 和 $C(h_{-})$ 也是一样。

# 用朴素贝叶斯算法进行计算
def naive_bayes(train_matrix, train_class):
    # 样本个数
    train_data_size = len(train_class)
    # 语料库大小
    vocabulary_size = len(train_matrix[0])
    # 计算垃圾邮件的概率值
    p_spam = sum(train_class) / train_data_size
    # 初始化分子，做了一个平滑处理（拉普拉斯平滑）
    p_ham_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    p_spam_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    # 初始化分母（通常初始化为类别个数，在垃圾邮件分类中，只有垃圾和正常两种邮件，所以类别数为2）
    p_ham_denominator = 2
    p_spam_denominator = 2
    # 循环计算分子和分母
    for i in range(train_data_size):
        if train_class[i] == 1:
            p_spam_molecule += train_matrix[i]
            p_spam_denominator += sum(train_matrix[i])
        else:
            p_ham_molecule += train_matrix[i]
            p_ham_denominator += sum(train_matrix[i])
    # 计算概率
    p_ham_vec = p_ham_molecule / p_ham_denominator
    p_spam_vec = p_spam_molecule / p_spam_denominator
    # 返回
    return p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam

5.6 贝叶斯公式的对数变换 + 邮件类别预测

回顾上面介绍过的公式：

$$\begin{gathered} P(h_{+}|D)=P(h_{+})\times P(D|h_{+}) \\ P(h_{-}|D)=P(h_{-})\times P(D|h_{-}) \end{gathered}$$

根据上一节的函数，我们已经能够求得 $P(h_{+})、P(D|h_{+})、P(h_{-})、P(D|h_{-})$了。但是 $P(D|h_{+})=P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+})$ 是连乘的，且每一项都是在 [0,1] 区间内的，这也就意味着经过连乘之后，$P(D|h_{+})$ 和 $P(D|h_{-})$ 的值往往非常小。这是不利于它们之间大小比较的。

所以我们通常采用取对数（通常是取自然对数 $\ln$）的方式，将它们“放大”。下面是自然对数的图像：

取自然对数之后，公式变为：

$$\begin{gathered} \ln (P(h_{+}|D))=\ln (P(h_{+})\times P(D|h_{+}))=\ln (P(h_{+}))+\ln (P(D|h_{+})) \\ \ln (P(h_{-}|D))=\ln (P(h_{-})\times P(D|h_{-}))=\ln (P(h_{-}))+\ln (P(D|h_{-})) \end{gathered}$$

其中：

$$\begin{gathered} \ln (P(D|h_{+}))=\ln (P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+}))=\ln (P(d_1|h_{+}))+\ln (P(d_2|h_{+}))+...+\ln (P(d_n|h_{+})) \\ \ln (P(D|h_{-}))=\ln (P(d_1|h_{-})\times P(d_2|h_{-})\times ...\times P(d_n|h_{-}))=\ln (P(d_1|h_{-}))+\ln (P(d_2|h_{-}))+...+\ln (P(d_n|h_{-})) \end{gathered}$$

综上可得：

$$\begin{gathered} \ln (P(h_{+}|D))=\ln (P(h_{+}))+[\ln (P(d_1|h_{+}))+\ln (P(d_2|h_{+}))+...+\ln (P(d_n|h_{+}))] \\ \ln (P(h_{-}|D))=\ln (P(h_{-}))+[\ln (P(d_1|h_{-}))+\ln (P(d_2|h_{-}))+...+\ln (P(d_n|h_{-}))] \end{gathered}$$

# 预测，返回预测的类别
def predict(vec, p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam):
    # 由于计算出来的概率通常很接近0，所以我们通常取对数将它“放大”，这也基于我们在做贝叶斯的时候，不需要知道他们确切的概率，只需要比较他们概率大小即可
    p_spam = np.log(p_spam) + sum(vec * np.log(p_spam_vec))
    p_ham = np.log(1 - p_spam) + sum(vec * np.log(p_ham_vec))
    return 1 if p_spam >= p_ham else 0

5.7 完整代码 + 运行输出

完整代码

import numpy as np
import re
import random


# 数据预处理操作（词的切分、词转化为小写）
def text_parse(input_str):
    word_list = re.split(r"\W+", input_str)
    return [word.lower() for word in word_list if len(word_list) > 2 and len(word) > 0]


# 获取数据
def read_data():
    doc_list = []
    class_list = []
    with open("./data/SMS.txt", "r", encoding="utf-8") as file:
        datas = file.read()
        # print(data)
        datas = datas.split("\n")
        for data in datas:
            # label = ham 代表 正常邮件 ， label = spam 代表垃圾邮件
            label, text = data.split("\t")
            doc_list.append(text_parse(text))
            # 0：正常邮件，1：垃圾邮件
            class_list.append(0 if label == "ham" else 1)
    return doc_list, class_list


# 构建语料表
def create_vocabulary_list(doc_list):
    vocabulary_set = set([])
    for document in doc_list:
        vocabulary_set = vocabulary_set | set(document)
    return list(vocabulary_set)


# 将一篇邮件转化为 类似 One-Hot 的向量，长度和 vocabulary_list 一样，为 1 的位置代表该单词在该邮件中出现了
def set_of_word2vector(vocabulary_list, document):
    vec = [0 for _ in range(len(vocabulary_list))]
    for word in document:
        index = vocabulary_list.index(word)
        if index >= 0:
            vec[index] = 1
    return vec


# 用朴素贝叶斯算法进行计算
def naive_bayes(train_matrix, train_class):
    # 样本个数
    train_data_size = len(train_class)
    # 语料库大小
    vocabulary_size = len(train_matrix[0])
    # 计算垃圾邮件的概率值
    p_spam = sum(train_class) / train_data_size
    # 初始化分子，做了一个平滑处理（拉普拉斯平滑）
    p_ham_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    p_spam_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    # 初始化分母（通常初始化为类别个数，在垃圾邮件分类中，只有垃圾和正常两种邮件，所以类别数为2）
    p_ham_denominator = 2
    p_spam_denominator = 2
    # 循环计算分子和分母
    for i in range(train_data_size):
        if train_class[i] == 1:
            p_spam_molecule += train_matrix[i]
            p_spam_denominator += sum(train_matrix[i])
        else:
            p_ham_molecule += train_matrix[i]
            p_ham_denominator += sum(train_matrix[i])
    # 计算概率
    p_ham_vec = p_ham_molecule / p_ham_denominator
    p_spam_vec = p_spam_molecule / p_spam_denominator
    # 返回
    return p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam


# 预测，返回预测的类别
def predict(vec, p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam):
    # 由于计算出来的概率通常很接近0，所以我们通常取对数将它“放大”，这也基于我们在做贝叶斯的时候，不需要知道他们确切的概率，只需要比较他们概率大小即可
    p_spam = np.log(p_spam) + sum(vec * np.log(p_spam_vec))
    p_ham = np.log(1 - p_spam) + sum(vec * np.log(p_ham_vec))
    return 1 if p_spam >= p_ham else 0


if __name__ == '__main__':
    # 读取数据
    doc_list, class_list = read_data()
    print(f"A total of {len(class_list)} email data were read, including {sum(class_list)} spam")

    # 构建语料表
    vocabulary_list = create_vocabulary_list(doc_list)

    # 划分训练集和测试集
    test_ratio = 0.3
    train_index_set = [i for i in range(len(doc_list))]
    test_index_set = []
    for _ in range(int(len(doc_list) * test_ratio)):
        index = random.randint(0, len(train_index_set) - 1)
        test_index_set.append(train_index_set[index])
        del train_index_set[index]
    print(f"test_ratio: {test_ratio} , train_data_size: {len(train_index_set)} , test_data_size: {len(test_index_set)}")

    # 将邮件转化为向量
    train_matrix = []
    train_class = []
    for train_index in train_index_set:
        train_matrix.append(set_of_word2vector(vocabulary_list, doc_list[train_index]))
        train_class.append(class_list[train_index])

    # 用朴素贝叶斯算法进行计算
    p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam = naive_bayes(np.array(train_matrix), np.array(train_class))

    # 测试部分
    # 记录预测正确的数量
    acc_cnt = 0
    for test_index in test_index_set:
        vec = set_of_word2vector(vocabulary_list, doc_list[test_index])
        predict_class = predict(vec, p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam)
        if predict_class == class_list[test_index]:
            acc_cnt += 1
    print(f"test accuracy: {acc_cnt / len(test_index_set)}")

运行输出

A total of 5574 email data were read, including 747 spam
test_ratio: 0.3 , train_data_size: 3902 , test_data_size: 1672
test accuracy: 0.9826555023923444