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RNS-CKKS

[CHKKS18a] 提出了 CKKS 的 RNS 变体。

Fast Base Conversion

一般地 FHE 需要很大的模数 $Q$，将它写作 $Q={\prod }_{i=1}^L{q}_i$，满足 $q_i=1(\mathrm{mod}2N)$，我们简记 $Q_i=q_1\cdots q_i$，集合 { q i } \{q_i\} {qi​} 称为 RNS Base，它们的大小至多为 $64$ 比特。我们希望 FHE 的全部运算都是单精度的（现代计算机的机器字），也就是全部运算都在 RNS 下完成，而不需要多精度算术。

[BEHZ16] 提出了可以在不同的 RNS（扩展到新的 RNS Base 对应的系数）之间快速转换的算法。将环元素 $a\in {\mathcal{R}}_Q$ 从模数 $Q=q_1\cdots q_l$ 下的 $[a{]}_Q$ 转换到模数 $P=p_1\cdots p_k$ 下的 $[[a{]}_Q{]}_P$，可以直接在 RNS 下计算：
$$\text{FastBaseExt}(a,Q,P)={\left\{\sum _{i=1}^l{\left[a\cdot {\left(\frac{Q}{q_i}\right)}^{-1}\right]}_{q_i}\cdot \frac{Q}{q_i}(\mathrm{mod}{p}_j)\right\}}_{j=1,\cdots ,k}$$
我们简记 $q_i^{\ast }:=Q/q_i$ 和 ${\tilde{q}}_i:=(Q/q_i{)}^{-1}(\mathrm{mod}{q}_i)$，满足 $q_i^{\ast }\cdot {\tilde{q}}_i\equiv 1(\mathrm{mod}{q}_i)$，那么根据 CRT 合成定理，转换的结果是：
$$\sum _i[a\cdot {\tilde{q}}_i{]}_{q_i}\cdot q_i^{\ast }=[a{]}_Q+u\cdot Q\in \mathbb{Z}$$
其中的 $\Vert u{\Vert }_{\infty }\le l/2$（采用中心化的取模运算）称为 $Q$-overflow，因此算法 $\text{FastBaseExt}(a,Q,P)$ 输出的只是 $[[a{]}_Q{]}_P$ 的近似值 $[[a{]}_Q+u\cdot Q{]}_P$

后续 [HPS19] 给出了纠正错误 $u$ 的浮点数算法，不过在 [CHKKS18a] 中并不需要纠错，因为 CKKS 本身就是近似计算的。

特别地，如果 $Q=q$ 是单个素数，那么 $q^{\ast }=\tilde{q}=1$，从而就有 $\text{FastBaseExt}(a,q,P)=\{[a{]}_q(\mathrm{mod}{p}_j){\}}_j$，并且 $u=0$ 没有错误。这个特例被用于 CKKS 的相邻模数之间的 RS 过程：输入 $a\in R_{Q_l}$ 的 RNS 表示，那么 $[q_l^{-1}\cdot ([a{]}_{q_j}-[a{]}_{q_l}){]}_{q_j},\forall 0\le j<l$ 就是 $\lfloor a/q_l\rceil \in R_{Q_{l-1}}$ 的 RNS 表示。

Approximate Modulus Switching

原始的 CKKS 的模数链，形如 $Q_l=q_0\cdot q^l$，其中 $q$ 是某个固定的 Base（例如 $q=2$）。显然它与 RNS 不兼容，因此无法使用 Double-CRT 来加速（multi-precision FFT 的速度很慢）

[CHKKS18a] 提出了 Approximate Base 解决这个问题，代价是引入了额外的舍入误差。我们选取 C = { q 0 , q 1 , ⋯   , q L } \mathcal C = \{q_0,q_1,\cdots,q_L\} C={q0​,q1​,⋯,qL​}，满足 $q_j/q\in (1-2^{-\eta },1+2^{-\eta }),\forall j=1,\cdots ,L$（注意最底层的 $q_0$ 不需要），同时它们都是 NTT-friendly 的素数。定义 $Q_l={\prod }_{i=0}^l{q}_l$ 是模数链，于是相邻的模数的比值都接近 $q$，利用 RNS Base 之间的转换，将 $m$ 缩放为 $q_l^{-1}\cdot m$ 的误差为 $2^{-\eta }\cdot |q_l^{-1}\cdot m|$，应当使得 $\eta$ 充分大（所以 $q$ 也不会很小）。

模切换过程（提升、约简）会出现在同态乘法（之前、之后）以及秘钥切换（GHS、Hybrid）中，一般化地表示出： D = { p 0 , ⋯   , p k − 1 , q 0 , ⋯   , q l − 1 } \mathcal D = \{p_0,\cdots,p_{k-1},q_0,\cdots,q_{l-1}\} D={p0​,⋯,pk−1​,q0​,⋯,ql−1​}，它分为两个子集 B = { p i } \mathcal B=\{p_i\} B={pi​} 和 C = { q j } \mathcal C=\{q_j\} C={qj​}，设置对应的模数 $P={\prod }_i{p}_i$ 以及 $Q={\prod }_j{Q}_j$

Modulus Raising：输入 $a\in {\mathbb{Z}}_Q$ 的 RNS 表示，输出 $\tilde{a}\in {\mathbb{Z}}_{PQ}$ 的 RNS 表示，满足 $a\equiv \tilde{a}\mathrm{mod}Q$ 以及 $|\tilde{a}|\ll PQ$（不需要具有相同的整数代表）

根据 Fast Base Conversion 的结果，它的 overflow 规模仅为 $l/2\ll P$，因此获得的 $[a+u\cdot Q{]}_P$ 级联原本的 $[a{]}_Q$，就得到了满足要求的 $[\tilde{a}{]}_{PQ}$，用 CRT 验证一下：
$$\begin{array}{rl}\tilde{a}& =Q[Q^{-1}{]}_P\cdot [a+uQ{]}_P+P[P^{-1}{]}_Q\cdot [a{]}_Q\\ & =Q[Q^{-1}{]}_P\cdot (a+uQ+vP)+P[P^{-1}{]}_Q\cdot (a+wQ)\\ & =(Q[Q^{-1}{]}_P+P[P^{-1}{]}_Q)\cdot a+u{Q}^2[Q^{-1}{]}_P\\ & =a+uQ\cdot (tP+1)\\ & =a+uQ(\mathrm{mod}PQ)\end{array}$$
算法如下，

Modulus Reduction：输入 $\tilde{b}\in {\mathbb{Z}}_{PQ}$ 的 RNS 表示，输出 $b\in {\mathbb{Z}}_Q$ 的 RNS 表示，满足 $b\approx P^{-1}\cdot \tilde{b}$（不需要等于实数除法的舍入）

由于 RNS 系统中无法计算带余除法，因此应当转化为整除法。我们简单从 $\tilde{b}$ 的 RNS 表示中截取出 $[\tilde{b}{]}_P$，然后利用 Fast Base Conversion 扩展出 $[[\tilde{b}{]}_P+uP{]}_Q$ 部分，那么两者的级联就是 $[[\tilde{b}{]}_P+uP{]}_{PQ}$，将它从原本的 $\tilde{b}$ 中减掉。由于 $||u|{|}_{\infty }\le k/2\ll Q$，这就满足了要求：

$$\tilde{b}-[\tilde{b}{]}_P+uP=P\cdot (\lfloor \tilde{b}/P\rceil +u)$$
算法如下，

无论是 Modulus Raising 还是 Modulus Reduction，结果中都带有错误 $u$，这是近似的模切换。按照 word operation 为计算单位，$Con{v}_{B\to C}$ 和 $Con{v}_{C\to B}$ 的复杂度都是 $O(k\cdot l)$，$ModU{p}_{C\to D}$ 的复杂度为 $O(k\cdot l)$，$ModDow{n}_{D\to C}$ 的复杂度为 $O(k\cdot l+l)$

Full RNS Variant CKKS

现在我们可以将原始的 CKKS 转化到 Full-RNS 版本。采用 [BMTH21] 的算法描述，我们可以将 Key-Switch 作为一个通用的中间模块，它的 KSK-Gen 可用于所有 pk 的生成，KS 过程作用在单个环元素上。采取 Hybrid 版本（BV 效率太低，GHS 有安全损失），设置 $w=[q_i^{\ast }\cdot {\tilde{q}}_i{]}_i(\mathrm{mod}Q)$ 是 RNS Base（二进制分解与 RNS 不兼容），对于 $\forall d\in R$ 满足线性运算 $d={\sum }_i[d{]}_{q_i}\cdot w_i(\mathrm{mod}Q)$。当然，对于每个分量 $[d{]}_{q_i}$ 可以进一步采用二进制分解，用更高的计算复杂度换取更小的噪声。

对于二的幂次 $N\ge 8$，总是有 ${\mathbb{Z}}_N^{\ast }=(5,-1)$，因此 $5$ 是循环乘法群 ${\mathbb{Z}}_N^{\ast }/(-1)$ 的生成元。令 $K=\mathbb{Q}[X]/(X^N+1)$ 是分圆数域，它的典范嵌入 $\sigma :a(X)\mapsto [a(\zeta ),a({\zeta }^3),\cdots ,a({\zeta }^{2N-1})]$ 可以稍稍扭曲为
$$\tau :a(X)\mapsto [a(\zeta ),a({\zeta }^5),a({\zeta }^{25}),\cdots ]$$
将它用于 SIMD 编码函数，那么自同构 $X\mapsto X^5$（所生成的循环子群）可用于自然的槽旋转，剩下的一个非凡的自同构 $X\mapsto X^{-1}$ 用于槽的复共轭。利用 KSK-Gen 生成对应的 KSK，当然 CKKS 的明文槽非常多（均摊自举比 BGV/BFV 快的多，甚至比 TFHE 还快），采取 [HS13] 的有向图路径分解的思路，可以有效减少存储开销。

RNS-CKKS 的同态运算的基本单元都是 word operation，不会出现 Multi-percision 表示，其中的乘法是在 DCRT 表示下计算的，而 RS、KS 则是在 RNS 表示下计算的，因此 NTT/INTT 占据了主要的开销。按照 [CHKKS18a] 的描述，使用 GHS 版本的重线性化、不追踪缩放因子，具体的算法为：

根据 [CHKKS18a]，在某参数集下 RNS-CKKS 的各个功能的计算速度都大约提升了 10 倍。由于原始的基 $q$ 和近似基 $q_j$ 之间的差距，RNS-CKKS 的计算精度降低了 3 比特。可以利用 $(Q_l,\Delta )$ 等标签追踪各个密文的实际缩放因子（根据所做的运算不同，相同 level 的密文的 $\Delta$ 不一定相同），来消除这个精度损失。按照 [BMTH21]，同态运算的 API 形如：

Efficient Bootstrapping with Non-Sparse Keys

[BMTH21] 提出了目前最快的 RNS-CKKS 自举算法，主要贡献是改进了：切比雪夫基下多项式求值的 BSGS 算法、明文槽线性变换的 BSGS 算法。前者是对噪声的优化，使得两个相加的密文总是具有恰好相同的缩放因子，因此消除了统一缩放因子时的近似噪声；后者是对 [HS18] 的进一步优化，将公共的运算提取合并在一起。自举算法还是按照 [CHKKS18b] 的框架，混合使用 [CHH18] [CCS19] 的 FFT-like 稀疏分解以及所改进的 BSGS 算法，对于不同的参数分别使用 [CCS19] 和 [HK20] 的同态取模算法。[BMTH21] 的自举算法支持稠密秘密，而之前的都仅考虑稀疏秘密。

Improved Key-switch

Mult 和 Rotation 都是依赖于 KS 过程的，[BMTH21] 采用了 Hybrid 版本。由于 RNS 系统中的素数较多，导致 RNS 分解后的 KSK 规模变大。可以类似于 [HS13] 将若干个素数合并为 digit，减小 RNS 向量的长度。

原本的 RNS Base 是素数集合 B = { q 0 , q 1 , ⋯   , q L } \mathcal B = \{q_0,q_1,\cdots,q_L\} B={q0​,q1​,⋯,qL​}，选取合适的 $\alpha$ 和 $\beta =\lceil (L+1)/\alpha \rceil$，设置 $q_{\alpha ,i}={\prod }_{j=\alpha i}^{\min (\alpha (i+1)-1,L)}{q}_j$ 是第 $i$ 个长度 $\alpha$ 区间的素数的乘积，那么 C = { q α , 0 , ⋯   , q α , β − 1 } \mathcal C = \{q_{\alpha,0},\cdots, q_{\alpha,\beta-1}\} C={qα,0​,⋯,qα,β−1​} 依旧是 $Q_L$ 的一组 RNS Base

我们设置 $q_{\alpha ,i}^{\ast }=Q_L/q_{\alpha ,i}$ 以及 ${\tilde{q}}_{\alpha ,i}=q_{\alpha ,i}^{-1}(\mathrm{mod}{q}_{\alpha ,i})$，那么 $w_i=q_{\alpha ,i}^{\ast }{\tilde{q}}_{\alpha ,i},0\le i<\beta$ 可以作为 RNS 分解向量。选取足够大的特殊素数 $P={\prod }_{j=0}^{\alpha -1}{p}_j$ 满足 $P\ge q_{\alpha ,i},\forall i$，将它用于 KS 过程的噪声控制。对应的 KSK 规模缩小了约 $\alpha$ 倍（但是 $P$ 增大了），
$$(sw{k}_i^0,sw{k}_i^1)=([-a_{i}s+s^{\prime }P{w}_i+e_i{]}_{P{Q}_L},[a_i{]}_{P{Q}_L}),0\le i<\beta$$
注意，KSK 是包含 $\beta$ 个分量的密文向量（加密了 $s^{\prime }Pw$ 的各个分量 ），每个分量都存储为 RNS 表示（长度 $\alpha +L+1$ 的单精度向量）。执行 KS 过程时，

1. 输入密文 $c$ 的关于 $\mathcal{B}$ 的 RNS 表示，将它按照 $\mathcal{C}$ 计算出各个 $c(\mathrm{mod}{q}_{\alpha ,i})$，其实就是简单截断 $q_{\alpha ,i}$ 所在的 RNS 分量
2. 然后使用 FastBaseExt 将它们都扩展为 $P{Q}_L$ 上的 RNS 表示，这就得到了 $c$ 关于 $w$ 的 RNS 分解（也就是 $c={\sum }_i[c{]}_{q_{\alpha ,i}}{w}_i(\mathrm{mod}P{Q}_L)$），它包含 $\beta$ 个长度为 $\alpha +L+1$ 的 RNS 表示（长度 $\beta$ 的分解向量）
3. 最后将这个分解出的向量和 KSK 做内积（需要 NTT/INTT），计算出 $c\cdot s^{\prime }P$，最后做实数除法并舍入
4. 上述所有运算都是单精度的，不需要高精度算术

Improved Hoisted-Rotations

同态自同构（使用 BV-KS）包含了三个步骤：自同构（就是系数置换）、数字分解（需要 NTT/INTT 做 DCRT 和 RNS 之间的转换）、密钥切换（同态的线性解密）。

[HS18] 观察到自同构 ${\varphi }_k:X\mapsto X^{5^k}$ 不会严重地改变范数，它可以和二进制分解交换。同样的，它也和 RNS 分解交换，满足 $[{\varphi }_k(a){]}_{q_{\alpha ,i}}={\varphi }_k([a{]}_{q_{\alpha ,i}})$。当多个 rotation 作用到同一个密文上，我们可以把分解步骤交换到自同构步骤之前，从而复用 $\{[a{]}_{q_{\alpha ,i}}{\}}_i$ 结果（代价是每个碎片都需要做自同构），这被称为 Hoisting 技术。

虽然自同构本身只是线性复杂度的系数置换，[BMTH21] 进一步将自同构交换到密钥切换的后面，从而只需要对内积结果（不是碎片）做一次自同构。确切地说，将原始的用 $s$ 加密 ${\varphi }_k(s)P{w}_i$ 的 $ro{t}_k$，修改为用 ${\varphi }_k^{-1}(s)$ 加密 $sP{w}_i$（执行 KS 时的私钥还是 $s$，后续的自同构将 ${\varphi }_k^{-1}(s)$ 转化回 $s$），
$$(\overline{ro{t}_{k,i}^0},\overline{ro{t}_{k,i}^1})=([-a_i{\varphi }_k^{-1}(s)+sP{w}_i+w_i{]}_{P{Q}_L},[a_i{]}_{P{Q}_L})$$
那么如下的三种计算方法（BV11、HS18、BMTH21）是等价的，
$$⟨decomp({\varphi }_k(a)),ro{t}_k⟩=⟨{\varphi }_k(decomp(a)),ro{t}_k⟩={\varphi }_k(⟨decomp(a),\overline{ro{t}_k}⟩)$$
总计一次分解、均摊一次自同构的多个槽旋转，算法步骤重排为：数字分解、同态内积、模切换（这是 GHS-KS 带来的，也需要 NTT/INTT）、自同构。

Double-hoisting BSGS algorithm

[HS18] 将矩阵表示为对角线形式，提出了复杂度为 $O(\sqrt{n})$ 次槽旋转的 BSGS 算法，这里的 $n$ 表示非零的对角线的个数。分解 $n=n_1{n}_2$，当 $n_1\approx n_2$ 时最优。

以单精度的模乘运算作为单位，[BMTH21] 分析了槽旋转的四个步骤的复杂度，发现主要的瓶颈是数字分解和模切换（都需要 NTT/INTT 转换），

在算法 5 中，step 2 需要 $n_1$ 次槽旋转，step 10 需要 $n_2$ 次槽旋转，它们各自都需要分别执行它们内部的数字分解和模切换。我们可以对它做两层优化，

1. [HS13] 考虑了 step 2 的那些旋转，利用 Hoisted-Rotations 复用数字分解的结果
2. [BMTH21] 考虑了 step 10 的那些旋转，交换模切换和自同构的顺序，对加和的结果统一执行

上述算法的复杂度是：$n_1+n_2$ 次的内积和自同构，$n_2+1$ 次的模切换和数字分解。由于前者复杂度较低，后者复杂度较高，因此最优化的参数选取不再是 $n_1\approx n_2$，[BMTH21] 确定出最佳选取移动到了 $8\le n_1/n_2\le 16$（分析它们的单精度模乘的数量），并且当 $n=128$ 左右获得最佳的效率提升。对于稠密矩阵，可以将它分解为一些稀疏对角线的因子（例如 [CHH18] 和 [CCS19] 对于 DFT 矩阵的 FFT-like 算法），使得它们具有大约 128 条非零对角线。

Bootstrapping for RNS-CKKS

注意 CKKS 自举并不减小噪声（降低明文精度），而只能提升模数（增大计算容量）：将 $[m+e{]}_{Q_0}$ 强行提升为 $[m+e+u{Q}_0{]}_{Q_L}$，再利用近似的取模函数获得 $[m+e^{\prime }{]}_{Q_{L-k}}$，其中 $\Vert e^{\prime }\Vert >||e||$

自举流程为：