1.定义

如果图$G$(有向图或者无向图)中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。

如果图$G$中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。

具有欧拉回路的图成为欧拉图(简称$E$图)。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图成为半欧拉图。
顶点可以经过多次
画个图分辨一下：

• 欧拉通路：
  
• 欧拉回路
  
  简单来讲就是欧拉通路能够从起点到终点,欧拉回路能够回到起点

2.定理及推论

欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的
无向图$G$存在欧拉通路的充要条件是：
$G$为连通图，并且$G$仅有两个奇度节点(度数为奇数的顶点)或者无奇度节点
推论1：

1. 当$G$是仅有两个奇度节点的连通图时，$G$的欧拉通路必以此两个节点为端点
2. 当$G$是无奇度节点的连通图时，$G$必有欧拉回路
3. $G$为欧拉图(存在欧拉回路)的充分必要条件是$G$为无奇度节点的连通图

有向图$D$存在欧拉通路的充要条件是：
$D$为有向图，$D$的基图联通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而在这两个顶点中一个顶点的出度与入度只为$1$，另一个顶点的出度与入度之差为$-1$
推论2：

1. $当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点$
2. $当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路$
3. $有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有的顶点的出、入度都相等$

3.欧拉通路回路存在的判断

根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断方法

A.判断欧拉通路是否存在的方法#

• $有向图：图连通，有一个顶点出度大于入度1，有一个顶点入度大于出度1，其余都是出度=入度$
• 无向图：图联通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度

B.判断欧拉回路是否存在的方法

• 有向图：图联通，所有的顶点出度=入度
• 无向图：图联通，所有的顶点都是偶数度

4.欧拉回路的应用

1. 哥尼斯堡七桥问题
2. 一笔画问题
3. 旋转鼓轮的设计

5.欧拉回路的判断

$DFS$

邻接矩阵的时间复杂度为$O(n^2)$
邻接表的时间复杂度为$O(n+e)$
如果，重边太多的话，邻接表会挂掉:）

请看这篇文章

6.欧拉回路的求解

板子题：骑马修栅栏
传送门
题目保证有解。

A.DFS搜索求解欧拉回路

基本思路：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉回路或欧拉通路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边(每条边只遍历一次)，遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int bian[510],n,m,ans[510];
int mapp[510][510],c=0;
void dfs(int j){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(mapp[j][i]>0){
			mapp[i][j]--;mapp[j][i]--;
			dfs(i);
		}
	}
	ans[c++]=j;
}
int main(){
	cin>>m;
	int a,b;
	for(int i=0;i<m;i++){
		cin>>a>>b;
		mapp[a][b]++;mapp[b][a]++;
		bian[a]++;bian[b]++;
		n=a>n?a:n;
		n=b>n?b:n;
	}
	int flag=1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		if(bian[i]%2==1){
			flag=i;
		}
	}
	dfs(flag);
	for(int i=c-1;i>=0;i--){
		cout<<ans[i]<<endl;
	}
}

B.Fleury(佛罗莱)算法

• Fleury算法是对DFS爆搜的一种改进，使用DFS漫不经心的随意走效率是不高的，Fleury是一种有效的算法
  ps:其实我也不会,这里就只介绍一下吧
  
  我个人感觉是把大连通块分成了零散的几个小连通块然后分块连接
  关键是能不走桥就不走桥，实在无路可走了才会去走桥
  代码就不给了,估计给了也是错的