概率基础——指数分布

介绍

指数分布是一种连续概率分布，描述了独立随机事件之间的时间间隔。它常被用来模拟随机事件的等待时间，例如到达下一位顾客的等待时间、设备故障的间隔时间等。指数分布具有无记忆性的特点，即在给定时间内没有发生事件并不会影响下一次事件发生的概率。

理论及公式

指数分布的概率密度函数（PDF）为：

$$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$$

其中，$x\ge 0$ 表示时间间隔，$\lambda >0$是指数分布的参数，也称为速率参数。参数$\lambda$ 表示单位时间（或单位长度）内发生事件的平均次数。

指数分布的参数

• 速率参数$\lambda$：单位时间（或单位长度）内发生事件的平均次数。速率参数$\lambda$越大，事件发生的速率越快；速率参数$\lambda$越小，事件发生的速率越慢。

举例

假设某个公交车站的乘客到达时间间隔符合指数分布，参数$\lambda =0.1$，即平均每10分钟会有一个乘客到达。我们希望了解乘客到达的等待时间分布情况，以便优化公交车站的客流管理。

Python绘制不同参数的概率密度曲线

接下来，我们将使用Python来绘制不同参数的指数分布的概率密度曲线。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon

# 定义不同参数的速率参数
lambdas = [0.5, 1, 2]

# 生成x轴的取值范围
x = np.linspace(0, 5, 1000)

# 绘制概率密度曲线
plt.figure(figsize=(10, 6))
for lam in lambdas:
    y = expon.pdf(x, scale=1/lam)
    plt.plot(x, y, label=f'lambda={lam}')

plt.title('Exponential Distribution PDF with Different Lambda')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

以上代码将绘制出三条不同参数$\lambda$的指数分布概率密度曲线，参数$scale=1/\lambda$。从图中可以看出，不同参数的指数分布曲线具有不同的速率，速率参数$\lambda$ 越大，曲线下降越快，事件发生的速率越快。
对指数型随机变量进行采样生成，对$\lambda =1$的指数分布进行采样生成，代码如下：

from scipy.stats import expon
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

expon_rv = expon()
expon_rvs = expon_rv.rvs(size=100000)
x = np.linspace(0, 10, 1000)
plt.plot(x, expon_rv.pdf(x), 'r', lw=3, alpha=0.6, label="$\\lambda$=1")
plt.hist(expon_rvs, bins=100, density=True, alpha=0.75, edgecolor='black')
plt.grid(ls='--')
plt.legend()
plt.show()

总结

本文介绍了指数分布及Python实现，利用了函数包的各个方法计算出各个理论统计值，利用采样样本数据计算出来的值和理论值基本算都是相等的。