【数据结构】C语言实现图的相关操作

news2024/11/17 21:40:43

图

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G 表示一个图，V 是图 G 中顶点的集合，E 是图 G 中边的集合。

术语

无向图：每条边都是无方向的图

有向图：每条边都是有方向的图
在这里插入图片描述

完全图：任意两个点都有一条边相连的图

边：无向图中的边

弧：有向图中的边

稀疏图：有很少边或弧的图

稠密图：有较多边或弧的图

网：边/弧带权的图（带权的意思就是边/弧上有数值）

邻接：有边/弧相连的两个顶点间的关系称为邻接

顶点的度：与该顶点相连的边的数目

在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度和出度之和

顶点的入度是以该顶点为终点的弧的条数

顶点的出度是以该顶点为起点的弧的条数

路径：连续的边所构成的顶点序列

路径长度：路径上边/弧的数目

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径

简单回路（环）：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径

连通图：在无向图中，从任意一个顶点出发，可以到达其余任意顶点

强连通图：在有向图中，从任意一个顶点出发，可以到达其余任意顶点

权：图中边或弧所具有的相关树称为权，表明从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费

网：带权的图称为网

存储结构

  • 顺序存储结构

邻接矩阵（数组表示法）

  • 链式存储结构

邻接表（链式表示法）

邻接矩阵

设图的顶点数量为 n，邻接矩阵使用一个 n * n 大小的矩阵（二维数组）来表示图，每一行（列）代表一个顶点，用1或0表示两个顶点之间是否存在边

建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间关系）

无向图：
在这里插入图片描述

有向图：
在这里插入图片描述

有向图的邻接矩阵中，行号表示弧的起点，列号表示弧的终点

如果想要表示网，则将邻接矩阵中的0换成无穷大即可

表示
#define MAX_INT 2147483647
#define MAX_V_NUM 100

typedef struct AMGraph
{
	char vexs[MAX_V_NUM];
	int arcs[MAX_V_NUM][MAX_V_NUM];
	int vex_num;
	int arc_num;
}AMGraph;

MAX_INT：表示极大值，即无穷大，用在网中

MAX_V_NUM：表示最大顶点树

AMGraph：Adjacency Matrix Graph 邻接矩阵图

char vexs[MAX_V_NUM]：顶点表

int arcs[MAX_V_NUM][MAX_V_NUM]：邻接矩阵，表示顶点间的关系

int vex_num：图的顶点数

int arc_num：图的边数

创建无向图

思路：

  1. 输入图的顶点数和边数
  2. 将点的信息存入顶点表中
  3. 初始化邻接矩阵
  4. 构造邻接矩阵，将边的信息存入矩阵中
void create_UDG(AMGraph* G)
{
	//输入图的顶点数和边数
	printf("Enter vex num:");
	scanf("%d", &G->vex_num);
	printf("Enter arc num:");
	scanf("%d", &G->arc_num);
	//将点的信息存入顶点表中（所谓的点的信息，其实就是点的名字）
	int i = 0;
	int j = 0;
	for (i = 0; i < G->vex_num; i++)
	{
		printf("Enter information for the %d-th vertex:", i + 1);
		scanf(" %c", &G->vexs[i]);
	}

	//初始化邻接矩阵
	for (i = 0; i < G->vex_num; i++)
	{
		for (j = 0; j < G->vex_num; j++)
		{
			G->arcs[i][j] = 0;	//网：MAX_INT，图：0
		}
	}

	//构造邻接矩阵
	for (i = 0; i < G->arc_num; i++)
	{
		char v1 = 0;
		char v2 = 0;
		//int w = 0;
		printf("Input two connected vertices：");
		scanf(" %c %c", &v1, &v2);

		//printf("Enter the starting point of the edge:");
		//scanf(" %c", &v1);
		//printf("Enter the endpoint of the edge:");
		//scanf(" %c", &v2);
		//printf("Input the weight of the edge:");
		//scanf("%d", &w);

		int i = locate_vex(G, v1);
		int j = locate_vex(G, v2);
		//G->arcs[i][j] = w;
		G->arcs[i][j] = 1;
		G->arcs[j][i] = G->arcs[i][j];
	}
}

int locate_vex(AMGraph* G, char v)
{
	int i = 0;
	for (i = 0; i < G->vexs; i++)
	{
		if (v == G->vexs[i])
		{
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

以上代码，进行适当的修改，可以用来创建有向图、无向网、有向网

邻接表

在这里插入图片描述

邻接表（adjacency list）使用 n 个链表来表示图，链表结点表示顶点。链表中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）
在这里插入图片描述

顶点表中的结点分为数据域和链域，数据域存储顶点信息，链域指向链表中的第一个结点

链表中的结点分为邻接点域、链域和数据域，邻接点域表示该顶点，存储顶点在顶点表中的位置，链域指向下一个相连的顶点，数据域存储与边有关的信息（权值）
在这里插入图片描述

在有向图中，链接的都是弧指向的顶点（如果反过来，那就是逆邻接表）

表示
#define MAX_INT 2147483647
#define MAX_V_NUM 100

//ArcNode 表示链表中的结点
typedef struct ArcNode
{
	int adjvex;				//该顶点在顶点表中的位置
	struct ArcNode* nextarc;//指向下一个相连的顶点
	int info;				//存储与边有关的信息（权值）
}ArcNode;

//VNode 表示顶点表中的结点
typedef struct VNode
{
	char data;				//顶点信息
	ArcNode* firstarc;		//指向与该顶点第一个相连的顶点
}VNode, AdjList[MAX_V_NUM];	//AdjList 表示顶点表

//ALGraph 用邻接表表示的图
typedef struct ALGraph
{
	AdjList vertices;	//顶点表 verticse是vertex的复数
	//相当于AdjList vertices[MAX_V_NUM]
	int vex_num;		//图的顶点数
	int arc_num;		//图的边数
}ALGraph;
创建无向图

思路：

  1. 输入顶点数和边数
  2. 建立顶点表（输入顶点信息，指针域置NULL）
  3. 创建邻接表
void create_UDG(ALGraph* G)
{
	//输入图的顶点数和边数
	printf("Enter vex num:");
	scanf("%d", &G->vex_num);
	printf("Enter arc num:");
	scanf("%d", &G->arc_num);

	//将点的信息存入顶点表中
	int i = 0;
	int j = 0;
	for (i = 0; i < G->vex_num; i++)
	{
		printf("Enter information for the %d-th vertex:", i + 1);
		scanf(" %c", &G->vertices[i].data);
		G->vertices[i].firstarc = NULL;
	}
	//创建邻接表
	for (i = 0; i < G->arc_num; i++)
	{
		char v1 = 0;
		char v2 = 0;
		printf("Input two connected vertices:");
		scanf(" %c %c", &v1, &v2);
		int i = locate_vex(G, v1);
		int j = locate_vex(G, v2);

		ArcNode* p1 = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
		if (p1 == NULL)
		{
			exit(0);
		}
		ArcNode* p2 = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
		if (p2 == NULL)
		{
			exit(0);
		}
		//p1结点是和顶点v1相连的结点，所以p1结点存的是顶点v2的信息
		p1->adjvex = j;
		//头插法建立链表，因此，最后的输出的次序和输入的次序是相反的（DFS、BFS）
		p1->nextarc = G->vertices[i].firstarc;
		G->vertices[i].firstarc = p1;

		p2->adjvex = i;
		p2->nextarc = G->vertices[j].firstarc;
		G->vertices[j].firstarc = p2;
	}
}

int locate_vex(ALGraph* G, char v)
{
	int i = 0;
	for (i = 0; i < G->vex_num; i++)
	{
		if (v == G->vertices[i].data)
		{
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

优缺点

邻接矩阵

  • 优点

方便查找”邻接点“

方便计算顶点的”度“

  • 缺点

不便于增加和删除顶点

浪费空间，如果是稀疏图，会有大量的空间浪费

邻接表

  • 优点

方便查找”邻接点“

节约空间

  • 缺点

不便于检查任意一对顶点间是否存在边

邻接矩阵多用于稠密图，邻接表多用于稀疏图

图的遍历

遍历：从已给出的连通图中的某一顶点出发，沿着一些边访遍图中的所有顶点，且每个顶点仅被访问一次

以下代码都是假设所要搜索的图是无向图

深度优先搜索

深度优先搜索（Depth First Search）（DFS）

思路：

构造一个辅助数组 visited[i]，用来标记每个被访问过的顶点

在访问图中某一起始顶点 v 后，由 v 出发，访问它的任一邻接顶点 w1

再从 w1 出发，访问与 w1 邻接但未被访问过的顶点 w2

再从 w2 出发，进行类似的访问

如此反复，直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止

接着，回退一步，退到前一次访问的顶点，看是否还有其他未被访问的邻接顶点

如果有，访问该顶点，再从该顶点出发，进行访问

如果没有，继续回退，重复之前步骤，直到图中所有的顶点都被访问过

例如：
在这里插入图片描述

对于该图的深度优先搜索，有如下访问次序：

v1、v2、v4、v8、v5、v3、v6、v7

v1、v3、v6、v7、v2、v4、v8、v5

…

基于邻接矩阵

void DFS(AMGraph* G, char v, int visited[MAX_V_NUM])
{
	printf("%c ", v);
	int i = locate_vex(G, v);
	visited[i] = 1;

	int j = 0;
	for (j = 0; j < G->vex_num; j++)
	{
		if (G->arcs[i][j] != 0 && visited[j] != 1)
		{
			char next_v = G->vexs[j];
			DFS(G, next_v, visited);
		}
	}
}

基于邻接表

void DFS(ALGraph* G, char v, int visited[MAX_V_NUM])
{
	int i = locate_vex(G, v);
	visited[i] = 1;
	printf("%c ", v);

	ArcNode* p = G->vertices[i].firstarc;
	while (p != NULL)
	{
		char next_v = G->vertices[p->adjvex].data;
		i = locate_vex(G, next_v);
		if (visited[i] == 0)
		{
			DFS(G, next_v, visited);
		}
		p = p->nextarc;
	}
}

广度优先搜索

广度优先搜索（Breadth First Search）（BFS）

思路：

从图的某一顶点出发，首先依次访问该顶点的所有邻接点，再按访问这些邻接点的顺序，依次访问与它们相邻接的且未被访问过的顶点，重复此过程，直到所有顶点被访问为止

例如：
在这里插入图片描述

访问次序：

v1、v2、v3、v4、v5、v6、v7、v8

基于邻接矩阵

void BFS(AMGraph* G, char v, int visited[MAX_V_NUM])
{
	printf("%c ", v);
	int i = locate_vex(G, v);
	visited[i] = 1;
	Queue Q;
	init(&Q);
	in(&Q, v);
	while (isEmpty(&Q) != 1)	//队列不为空时，循环继续
	{
		char u = out(&Q);		//队头出队
		i = locate_vex(G, u);	
		int j = 0;
		for (j = 0; j < G->vex_num; j++)	//找出队顶点的邻接点
		{
			if (G->arcs[i][j] != 0 && visited[j] != 1)
			{
				//输出顶点信息，然后该顶点入队
				char next_v = G->vexs[j];	
				printf("%c ", next_v);
				visited[j] = 1;
				in(&Q, next_v);
			}
		}
	}
}

基于邻接表

void BFS(ALGraph* G, char v, int visited[MAX_V_NUM])
{
	Queue Q;
	init(&Q);
	printf("%c ", v);
	int i = locate_vex(G, v);
	visited[i] = 1;
	in(&Q, v);

	while (isEmpty(&Q) != 1)
	{
		char u = out(&Q);
		i = locate_vex(G, u);

		ArcNode* p = G->vertices[i].firstarc;
		while (p != NULL)
		{
			if (visited[p->adjvex] == 0)
			{
				char next_v = G->vertices[p->adjvex].data;
				printf("%c ", next_v);
				visited[p->adjvex] = 1;
				in(&Q, next_v);
			}
			p = p->nextarc;
		}
	}
}

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