一、算法原理

• 层次分析法（analytic hierarchy process），简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

• 传统定性分析方法类似专家打分、专家判断等，仅能将指标简单地划分为几个层级（类似非常重要、比较重要、一般、比较不重要、非常不重要），这样导致部分存在差别但是不大的指标得到了同样的权重，受主观因素影响，无法对最终决策做出更好的帮助。层次分析法将不同指标间一一比对，主观与客观相结合，很好地解决了以上问题。

• 判断矩阵量化值参照表：

因素i比因素j	量化值
同等重要	1
稍微重要	3
较强重要	5
强烈重要	7
极端重要	9
两相邻判断的中间值	2，4，6，8
倒数	假设因素i相比因素j重要程度量化值为3，相反就是1/3

二、案例分析

目的：选择某个城市旅游

方案：南京、桂林、三亚

考虑因素：景色、吃住、价格、人文

2.1 构建指标层判断矩阵

构建判断矩阵，理论上需要专家打分。

2.2 求各指标权重

2.2.1 算术平均法（和积法）

1. 按列求和：如$1+4+1/2+3=8.5$。
   

2. 将指标层判断矩阵按列归一化（即按列求占比），如：
   $0.12=1/8.5$
   $0.47=4/8.5$
   $0.06=1/2/8.5$
   $0.35=3/8.5$
   

3. 将归一化后的矩阵按行求平均，得到权重向量w
   

2.2.2 几何平均法（方根法）

1. 每行各元素相乘（行乘积），如$1\ast 1/4\ast 2\ast 1/3=0.1667$
   

2. 对乘积列每个元素开n次方（n为矩阵阶数，此处n=4），如$\sqrt[4]{0.1667}=0.6389$.
   

3. 然后对开方列求列占比，得到权重向量w，如$$0.1171=0.6389/5.4566$$.
   

2.3 一致性检验

2.3.1 求解最大特征根值

得到权重向量后，可以计算出原判断矩阵的最大特征根值，公式为：

$${\lambda }_{max}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{(A{W}_i)}{W_i}$$

其中，n为矩阵阶数，此处n=4。

求解步骤（以和积法求解权重为例）

1. 求$AW$，其中$0.4705=1\ast 0.1176+\frac{1}{4}\ast 0.5175+2\ast 0.0611+\frac{1}{3}\ast 0.3038$
   

2. 求$\frac{AW}{W}$，如$4.0016=0.4705/0.1176$
   

3. 求$\frac{1}{n}sum(\frac{AW}{W})$，此处$sum(\frac{AW}{W})=16.0621$
   

4. 综上求得${\lambda }_{max}=\frac{1}{4}\ast 16.0621=4.0155$。

2.3.2 求解CI、RI、CR值

• 计算CI

$$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}=\frac{4.0155-4}{4-1}=0.0052$$

• 计算RI

根据查表，得知$RI$为0.89

• 计算CR

$$CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.0052}{0.89}=0.0058$$

2.3.3 一致性判断

CR = 0.0058 < 0.1，即通过一致性检验。

2.4 分别求解方案层权重向量及一致性检验

2.4.1 景色

1. 构建判断矩阵
   

2. 计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）
   

2.4.2 吃住

1. 构建判断矩阵
   

2. 计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）
   

2.4.3 价格

1. 构建判断矩阵
   

2. 计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）
   

2.4.4 人文

1. 构建判断矩阵
   

2. 计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）
   

2.5 计算各方案得分

$综合得分=sum(单项得分\ast 对应指标权重)$

可以看出，南京得分0.5675为最高，最终方案应选择南京。

三、python 代码

3.1 和积法计算权重

import numpy as np
import pandas as pd

''' 层次分析法判断矩阵权重向量计算--和积法 '''
def get_w_anc(factors_matrix):
    # RI字典
    RI_dict = {
        1:0,
        2:0,
        3:0.52,
        4:0.89,
        5:1.12,
        6:1.26,
        7:1.36,
        8:1.41,
        9:1.46,
        10:1.49,
        11:1.52,
        12:1.54,
        13:1.56,
        14:1.58,
        15:1.59
    }
    
    # 矩阵阶数
    shape = factors_matrix.shape[0]

    # 按列求和
    column_sum_vector = np.sum(factors_matrix, axis=0)
    
    # 指标层判断矩阵归一化
    normalization_matrix = factors_matrix / column_sum_vector
    
    # 按行求归一化后的判断矩阵平均值，得到权重W
    W_vector = np.mean(normalization_matrix, axis=1)
    
    # 原判断矩阵 乘以 权重向量
    AW_vector = np.dot(factors_matrix, W_vector)
    
    # 原判断矩阵 ✖️ 权重向量 / 权重
    AW_w = AW_vector / W_vector
    
    # 求特征值
    lamda = sum(AW_w) / shape
    
    # 求CI值
    CI = (lamda - shape) / (shape - 1)
    
    # 求CR值
    CR = CI / RI_dict[shape]
    
    print("权重向量为：",list(W_vector))
    print("最大特征值：",lamda)
    print("CI值为：",CI)
    print("RI值为：",RI_dict[shape])
    print("CR值为：",CR)
    
    if CR < 0.1:
        print('矩阵通过一致性检验')
    else:
        print('矩阵未通过一致性检验')
    print("---------------------------")
    
    return W_vector

if __name__ == "__main__":

    # 指标层判断矩阵
    factors_matrix = np.array([
        [1,1/4,2,1/3],
        [4,1,8,2],
        [1/2,1/8,1,1/5],
        [3,1/2,5,1]
    ])

    # 景色
    view_matrix = np.array([
        [1,1/4,2],
        [4,1,8],
        [1/2,1/8,1]
    ])
    # 吃住
    board_matrix = np.array([
        [1,5,2],
        [1/5,1,1/2],
        [1/2,2,1]
    ])
    # 价格
    price_matrix = np.array([
        [1,1/3,2],
        [3,1,5],
        [1/2,1/5,1]
    ])
    # 人文
    humanity_matrix = np.array([
        [1,5,7],
        [1/5,1,2],
        [1/7,1/2,1]
    ])

    w_A = get_w_anc(factors_matrix)
    print("景色：")
    w_view = get_w_anc(view_matrix)
    print("吃住：")
    w_board = get_w_anc(board_matrix)
    print("价格：")
    w_price = get_w_anc(price_matrix)
    print("人文：")
    w_humanity = get_w_anc(humanity_matrix)
    
    # 将景色、吃住、价格、人文权重向量合并
    w_B = np.vstack((w_view, w_board,w_price,w_humanity))
    
    # 求出最终得分
    score = np.dot(w_A,w_B)
    print("最终得分向量：",score)

• 运行结果
  

3.2 方根法计算权重

这里只列出计算权重部分

• 原指标层判断矩阵

# 指标层判断矩阵
factors_matrix = np.array([
    [1,1/4,2,1/3],
    [4,1,8,2],
    [1/2,1/8,1,1/5],
    [3,1/2,5,1]
])

1. 求行乘积

# 求行乘积
array1 = factors_matrix.prod(axis=1, keepdims=True)

2. 对乘积列每个元素开n次方（n为矩阵阶数，此处n=4）

n = 4
array2 = np.power(array1, 1/n)

3. 对开方列求列占比，得到权重向量w

array2 / np.sum(array2)

3.3 python库 np.linalg.eig

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(factors_matrix)

# 需要注意的是，对于一个nxn的矩阵，最多可能有n个特征值和特征向量，因此，需要挑选出最大的特征值进行一致性判断
# 找到最大特征值的索引
max_eigenvalue_index = np.argmax(eigenvalues)

# 提取最大特征值和对应的特征向量
max_eigenvalue = eigenvalues[max_eigenvalue_index]
max_eigenvector = eigenvectors[:, max_eigenvalue_index]

print("最大特征值:", max_eigenvalue)
print("对应的特征向量:", max_eigenvector)

• 参考：层次分析法（AHP）步骤详解-哔哩哔哩
• 参考：层次分析法原理及计算过程详解）