目录

1 AR 1
2 MA 1
3 ARMA 1
4 ARMAX 2
5 ARX 2
6 ARARX 3
7 ARARMAX 3
8 OE 3
9 BJ 3

各种线性模型，这些模型算数学基础模型，不仅在计量经济学，也在工业控制等各领域有应用。包括AR、MA、ARMA、ARMAX、ARX、ARARMAX、OE、BJ等。

1 AR

自回归模型（Autoregressive model，简称AR模型）。指x与x自己之前的状态（t-i）相关，公式如下：

2 MA

q阶移动平均（moving average）模型，简记为MA（q）。主要指x和随机误差（噪声）ε及之前t-i的随机误差（噪声）ε有关，公式如下：

3 ARMA

自回归滑动平均模型（Autoregressive moving average model，简称：ARMA模型）。是研究时间序列的重要方法，如模型标题所述，ARMA由自回归模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。

公式如下，将x换成了y，一个意思。即y和（t-q）之前的y、(t-q)的随机误差ε、t时的ε相关。

4 ARMAX

ARMAX(Autoregressive Moving Average with Extra Input)。
在ARMA基础上增加了一个额外输入项u，公式如下，其中e指ε：

矩阵表示可简化为，其中q表示向前追溯：

即A(q)提供了输入和噪声共同的极点（分母为0时，A（q）移到等式右边就变为分母了），B(q)时提供输入零点。

5 ARX

有源自回归（Auto-Regressive with Extra Inputs，ARX）模型。ARX就是AR模型加了一个额外输入。或者说ARX等于ARMAX去掉MA，即去掉(t-q)之前的随机误差ε，也就是去掉ARMAX公式的C，如下，v(t)只是当前随机误差，无(t-q)之前的：

6 ARARX

可以看到和ARMAX很像，C变成1/D，分子变分母，就增加了极点（分母等于0时），提供了噪声（误差）的极点表示。其中A(q)提供了输入和噪声共同的极点，而D只是提供噪声的极点。

7 ARARMAX

在ARMAX基础上增加了1/D，即不仅有C也有D。

8 OE

输出误差模型(output error)。
不同于ARX的是，没有了A(q)，即没有提供了输入和噪声共同的极点；而是换成了F，只提供输入的极点。

9 BJ

Box-Jenkins模型。在OE模型基础上增加了C、D，故BJ模型对输入和噪声均可独立建模。