3. 初始屈服条件

3.1 两个假设以及屈服条件基本形式

在简单拉伸时，材料的屈服很明确，即
$$\sigma >{\sigma }_s\text{\hspace{1em}(1)}$$
那么当一般应力状态下，材料的屈服条件是怎样的形式呢？参考简单拉伸，我们可以写下通用形式的屈服条件
$$\begin{gathered} f({\sigma }_{ij})\ge 0,屈服 \\ f({\sigma }_{ij})<0,弹性\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

即当$f({\sigma }_{ij})=0$时就是屈服时刻。

我们在讨论一般的金属材料的塑性时，为了简化讨论，先提出两个假设：
1。 材料在初始屈服前，是各项同性的。
2。 静水应力不影响材料的塑性。

因此，屈服只与应力偏量有关，那么式（2）就能转化成如下的形式
$$f(J_1,J_2,J_3)=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
进一步，有$J_1=0$，那么
$$f(J_2,J_3)=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

3.2 $\pi$平面、Lode参数

在主应力空间中，一点的应力状态$({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$为P点坐标，那么
$$\overrightarrow{OP}={\sigma }_1\overrightarrow{i_1}+{\sigma }_2\overrightarrow{i_2}+{\sigma }_3\overrightarrow{i_3}\text{\hspace{1em}(5)}$$
将上式分解
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{OP}& ={\sigma }_1\overrightarrow{i_1}+{\sigma }_2\overrightarrow{i_2}+{\sigma }_3\overrightarrow{i_3}\\ & ={\sigma }_m\overrightarrow{i_1}+{\sigma }_m\overrightarrow{i_2}+{\sigma }_m\overrightarrow{i_3}+s_1\overrightarrow{i_1}+s_2\overrightarrow{i_2}+s_3\overrightarrow{i_3}\\ & =\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OQ}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
上式中，$\overrightarrow{ON}$、$\overrightarrow{OQ}$如下图1所示。

$$图1应力分解图$$
且
$$\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{OQ}=({\sigma }_m,{\sigma }_m,{\sigma }_m)\cdot (s_1,s_2,s_3)={\sigma }_m\cdot (s_1+s_2+s_3)=0\text{\hspace{1em}(7)}$$
因此$\overrightarrow{ON}$、$\overrightarrow{OQ}$互相垂直，其中$\overrightarrow{ON}$的单位向量为$(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$，以此为法向量，并过原点O的平面方程为
$${\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
不难发现，任意的应力状态点$({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$在这个平面上的投影点Q在主应力坐标系中的坐标为$(s_1,s_2,s_3)$，这代表该应力状态的静水应力部分经过投影变为零。由3.1的第二个假设，静水应力不影响材料的塑性行为，因此只需要在此平面上讨论屈服条件即可，我们把这个平面称为$\pi$平面。

材料屈服条件形式如式（3），因此在$\pi$平面内讨论式（3）的形式。为了方便讨论，需在$\pi$平面内建立相应的坐标系。

将主应力空间的基向量$(\overrightarrow{i_1},\overrightarrow{i_2},\overrightarrow{i_3})$在$\pi$平面上的投影记为$(\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}},\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}},\overrightarrow{i_3^{{}^{\prime }}})$，讨论$\overrightarrow{i_i}$和$\overrightarrow{i_i^{{}^{\prime }}}$的关系。以$\overrightarrow{i_1}$为例，$\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}$为其在$\pi$平面上的投影，如图2，$\pi$平面法向量$\overrightarrow{ON}$与$\overrightarrow{i_1}$夹角为$\alpha$，$\overrightarrow{i_1}$和$\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}$夹角为$\beta$，并且$\alpha +\beta =90^{。}$，由$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$可知，$\cos \beta =\sqrt{\frac{2}{3}}$。那么有$|\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}|=\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}}、\overrightarrow{i_3^{{}^{\prime }}}$也同理可得，并且不难得出$\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}$、$\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}}$、$\overrightarrow{i_3^{{}^{\prime }}}$在$\pi$平面上夹角为$120^{。}$。

$$图2基向量投影$$
$\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}$、$\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}}$、$\overrightarrow{i_3^{{}^{\prime }}}$在$\pi$平面上的投影如图3，其中$\overrightarrow{i_i^{{}^{\prime }}}$的模为$\cos \beta$。以$\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}}$为$y$轴，右手定则确定$x$轴。$\overrightarrow{OQ}$在主应力空间中分量为$s_1\overrightarrow{i_1}$、$s_2\overrightarrow{i_2}$、$s_3\overrightarrow{i_3}$，那么投影到$\pi$平面上，就是$s_1\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}$、$s_2\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}}$、$s_3\overrightarrow{i_3^{{}^{\prime }}}$，那么在$x-y$坐标系中，将$s_1\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}$、$s_2\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}}$、$s_3\overrightarrow{i_3^{{}^{\prime }}}$写成$(x,y)$分量的形式，如下所示。

$$\begin{gathered} s_1\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}=(s_1\cos 30^{。},-s_1\cos 60^{。})\cdot \cos \beta \\ {s}_2\overrightarrow{i_2^{{}^{\prime }}}=(0,s_2)\cdot \cos \beta \\ {s}_1\overrightarrow{i_1^{{}^{\prime }}}=(-s_3\cos 60^{。},-s_3\cos 30^{。})\cdot \cos \beta \text{\hspace{1em}(9)} \end{gathered}$$

$$图3\pi 平面中基向量投影$$

因此，$\overrightarrow{OQ}$在$\pi$平面上的坐标为
$$\begin{array}{rl}& x=(s_1\cos 30^{。}+0-s_3\cos 60^{。})\cos \beta =\frac{\sqrt{2}}{2}(s_1-s_3)=\frac{\sqrt{2}}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3)\\ & y=(-s_1\cos 60^{。}+s_2-s_3\cos 30^{。})\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{6}}(2s_2-s_1-s_3)=\frac{1}{\sqrt{6}}(2{\sigma }_2-{\sigma }_1-{\sigma }_3)\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

如果用极坐标的形式表示，则有
$$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+\frac{1}{6}(2{\sigma }_2-{\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2}\\ & \tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{\sqrt{6}}(2{\sigma }_2-{\sigma }_1-{\sigma }_3)}{\frac{\sqrt{2}}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2{\sigma }_2-{\sigma }_1-{\sigma }_3}{{\sigma }_1-{\sigma }_3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot {\mu }_{\sigma }\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

其中${\mu }_{\sigma }=\frac{2{\sigma }_2-{\sigma }_1-{\sigma }_3}{{\sigma }_1-{\sigma }_3}$称为Lode参数，它表示了主应力之间的相对比值。

3.3 屈服曲线的一般特征

现在可以讨论屈服条件，在主应力空间中屈服条件$f({\sigma }_{ij})=f(J_2,J_3)=0$形成一个以$\overrightarrow{ON}$为母线的柱面（静水压力不影响塑性）。柱面和$\pi$平面形成的截面线称为屈服曲线。

根据3.1的第一个假设：材料在初始屈服前，是各项同性的，那么屈服曲线肯定式关于三个坐标轴对称的，三个坐标轴正方向在$\pi$平面上是夹角是一样的为$120^{。}$，三个坐标轴负方向在$\pi$平面上是夹角是一样为$120^{。}$，那么一个坐标轴的负方向和其他两个坐标轴的正方向夹$60^{。}$，如图4。

屈服曲线关于坐标轴正方向对称，那么屈服曲线对称角度为$120^{。}$，同时屈服曲线关于坐标轴负方向对称，那么屈服曲线对称角度为$60^{。}$。即在图中$\stackrel{⌢}{A{C}^{\prime }}$、$\stackrel{⌢}{A{B}^{\prime }}$对称，同时$\stackrel{⌢}{A{C}^{\prime }}$、$\stackrel{⌢}{B{C}^{\prime }}$对称，因此只需要知道$60^{。}$的曲线，就能完整确定整条曲线。

同时，在各项同性的同时，假设压缩和拉伸性能相等，则$\stackrel{⌢}{A{C}^{\prime }}$自己是关于bb’对称的，那么只需要知道$30^{。}$的曲线就能完整确定整条曲线。

$$图4\pi 平面中坐标轴投影$$