目录
- 前言
- 1 梯度下降的基本思想
- 2 梯度下降的公式
- 3 梯度下降的步骤
- 3.1 初始化参数
- 3.2 计算梯度
- 3.3 更新参数
- 3.4 迭代更新
- 4 学习率的控制
- 4.1 过大学习率的问题
- 4.2 过小学习率的问题
- 4.3 学习率的调整
- 5 批量梯度下降方法
- 5.1 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）
- 5.1 小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）
- 结语
前言
线性回归是机器学习中常用的模型之一，而梯度下降法则是优化线性回归模型参数的重要手段之一。本文将深入探讨梯度下降法在线性回归中的应用，包括其基本思想、相关公式、步骤、学习率的控制以及批量梯度下降方法。通过详细阐述这些内容，希望读者能够更好地理解和运用梯度下降法来优化线性回归模型。
1 梯度下降的基本思想
在机器学习中，梯度下降法是一种常用的优化算法，其核心思想是通过迭代的方式逐步调整模型参数，以降低目标函数（损失函数）的值。在线性回归中，我们的目标是找到最优的权重 w 和偏置 b，使得损失函数$J(w,b) $取得最小值。
线性回归的目标函数通常以平方损失为例，即
J
(
w
,
b
)
=
1
2
m
∑
i
=
1
m
(
y
i
−
(
w
x
i
+
b
)
)
2
J(w, b) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - (wx_i + b))^2
J(w,b)=2m1i=1∑m(yi−(wxi+b))2
其中，m是样本数量，(
x
i
x_i
xi,
y
i
y_i
yi)是训练集中的样本。这个公式描述了平方损失的均方差，表示模型预测值与实际值之间的差异，梯度下降的目标是最小化这个损失函数。
通过梯度下降法，我们希望找到使得目标函数最小化的 w 和 b。梯度下降的基本思想是计算目标函数对于参数的梯度（偏导数），然后沿着梯度的反方向调整参数，以减小目标函数的值。
2 梯度下降的公式
梯度下降法的核心在于通过对目标函数进行偏导数的计算，求解梯度，然后根据梯度的反方向来更新模型参数。在线性回归中，我们的目标是最小化损失函数$J(w,b) $。
权重的更新
w : = w − α ∂ J ( w , b ) ∂ w w := w - \alpha \frac{\partial J(w, b)}{\partial w} w:=w−α∂w∂J(w,b)
w = w − α 1 m ∑ i = 1 m ( y i − ( w x i + b ) ) x i w = w - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - (wx_i + b))x_i w=w−αm1i=1∑m(yi−(wxi+b))xi
偏置的更新
b : = b − α ∂ J ( w , b ) ∂ b b := b - \alpha \frac{\partial J(w, b)}{\partial b} b:=b−α∂b∂J(w,b)
b = b − α 1 m ∑ i = 1 m ( y i − ( w x i + b ) ) b = b - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - (wx_i + b)) \ b=b−αm1i=1∑m(yi−(wxi+b))
其中， α \alpha α 是学习率，它是一个正数，用于控制每次迭代的步长。学习率的选择对梯度下降的性能影响很大，过大的学习率可能导致震荡，而过小的学习率可能导致收敛速度过慢。
在更新公式中， ∂ J ( w , b ) ∂ w \frac{\partial J(w, b)}{\partial w} ∂w∂J(w,b)表示损失函数关于权重 w的偏导数，而 $\frac{\partial J(w, b)}{\partial b} $表示关于偏置 b的偏导数。这两个偏导数告诉我们在当前参数下，目标函数的变化率，梯度下降通过不断减小这些变化率来逼近最小值。
3 梯度下降的步骤
梯度下降是一种迭代优化算法，用于最小化目标函数。在线性回归中，梯度下降的步骤可以简要概括如下。
3.1 初始化参数
在开始优化过程之前，需要初始化模型参数。通常可以将权重 w 和偏置 b 初始化为零或者随机的小值。这一步是为了给优化算法一个起始点。
3.2 计算梯度
计算目标函数$J(w,b) $关于参数 w 和 b 的偏导数，即梯度。梯度告诉我们目标函数在当前参数点上的变化率。对于线性回归，梯度的计算涉及对损失函数关于权重 w 和偏置 b 的偏导数。
3.3 更新参数
使用梯度和预先设定的学习率 α，通过梯度下降的更新规则来调整参数 w 和 b。更新规则如下：
w : = w − α ∂ J ( w , b ) ∂ w w := w - \alpha \frac{\partial J(w, b)}{\partial w} w:=w−α∂w∂J(w,b)
b : = b − α ∂ J ( w , b ) ∂ b b := b - \alpha \frac{\partial J(w, b)}{\partial b} b:=b−α∂b∂J(w,b)
这一步的目的是沿着梯度的反方向调整参数，以减小目标函数的值。
3.4 迭代更新
重复步骤 b 和 c，直至满足停止条件。停止条件可以是达到最大迭代次数或者梯度趋近于零。迭代的过程中，参数不断被调整，目标函数逐渐趋近最小值。
通过这些步骤，梯度下降能够有效地搜索参数空间，找到使得损失函数最小化的最优参数，从而优化线性回归模型。
4 学习率的控制
学习率是梯度下降中一个至关重要的参数，它决定了每次迭代中模型参数更新的步长。选择合适的学习率对于梯度下降的性能和收敛速度至关重要。
4.1 过大学习率的问题
如果学习率过大，可能导致梯度下降算法在参数空间中跳动或震荡，甚至无法收敛到最小值。这是因为过大的学习率使得每次迭代参数更新过大，导致优化过程失控。
4.2 过小学习率的问题
相反，如果学习率过小，模型参数更新的步长太小，梯度下降收敛速度会很慢，甚至可能陷入局部最小值而无法找到全局最小值。
4.3 学习率的调整
一种常用的学习率调整方法是进行实验，通过尝试不同的学习率来找到一个在特定问题上表现良好的值。另一种方法是使用自适应学习率的技术，如Adagrad、Adadelta、Adam等，它们可以根据梯度的历史信息来动态地调整学习率，以更灵活地适应优化过程。
在实践中，可以从一个较小的学习率开始，观察损失函数的下降情况。如果发现收敛速度过慢，可以逐渐增大学习率。然而，需要注意不要选择过大的学习率，以免影响优化的稳定性。
通过合理调整学习率，梯度下降算法能够更好地在参数空间中搜索，加速模型的收敛，并更有效地优化线性回归模型。
5 批量梯度下降方法
梯度下降的方法不仅仅限于单一形式，批量梯度下降是其中一种形式，它的特点是每次迭代都利用所有训练样本来计算梯度。这相对于随机梯度下降更为稳定，但在大数据集上计算梯度较为耗时。为了解决这一问题，引入了小批量梯度下降，作为一种折中的选择，它使用一小部分样本来估计梯度。
5.1 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）
在批量梯度下降中，每次迭代都需要对整个训练集进行计算。其权重和偏置的更新公式如下：
w : = w − α 1 m ∑ i = 1 m ∂ J ( w , b ) ∂ w w := w - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial J(w, b)}{\partial w} w:=w−αm1i=1∑m∂w∂J(w,b)
b : = b − α 1 m ∑ i = 1 m ∂ J ( w , b ) ∂ b b := b - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial J(w, b)}{\partial b} b:=b−αm1i=1∑m∂b∂J(w,b)
其中，$ m$ 是训练样本的数量，$ \alpha$ 是学习率。
5.1 小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）
小批量梯度下降是一种折中方案，每次迭代时仅利用一小部分样本来估计梯度。这样可以在保持一定稳定性的同时，减少计算开销。更新公式如下：
w : = w − α 1 b a t c h _ s i z e ∑ i = 1 b a t c h _ s i z e ∂ J ( w , b ) ∂ w w := w - \alpha \frac{1}{batch\_size} \sum_{i=1}^{batch\_size} \frac{\partial J(w, b)}{\partial w} w:=w−αbatch_size1i=1∑batch_size∂w∂J(w,b)
b : = b − α 1 b a t c h _ s i z e ∑ i = 1 b a t c h _ s i z e ∂ J ( w , b ) ∂ b b := b - \alpha \frac{1}{batch\_size} \sum_{i=1}^{batch\_size} \frac{\partial J(w, b)}{\partial b} b:=b−αbatch_size1i=1∑batch_size∂b∂J(w,b)
其中，$ batch_size $ 是每次迭代使用的样本数量。
选择何种梯度下降方法取决于数据集的规模和计算资源的可用性。批量梯度下降适用于较小的数据集，而小批量梯度下降则可以在大规模数据集上更高效地进行计算。随机梯度下降则是一种更为轻量级的方法，适用于在线学习或数据流式处理。
通过灵活选择梯度下降的形式，我们能够更好地平衡计算效率和模型稳定性，从而优化线性回归模型。
结语
通过本文对梯度下降在线性回归中的深入探讨，我们理解了其基本思想、公式、步骤、学习率的控制以及批量梯度下降方法。在实际应用中，灵活运用梯度下降算法，调整参数和学习率，将有助于优化线性回归模型，提高其性能和泛化能力。
