一.KMP算法简介

   KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。

KMP算法的核心思想：利用已匹配的信息来减少回溯的次数

KMP算法实际上解决的是一个字符串匹配的问题，即从一个目标字符串（通常非常长）中找到与给定字符串（也称为模式串）相匹配的字串的位置。

在匹配过程中我们可以尝试让我们的主串中的指针不再回退，同时我们子串的指针在匹配的时候也回退到指定的位置，而不是开头的位置。

二.next数组

KMP 的精髓就是 next 数组：也就是用 next[j] = k;来表示，不同的 j 来对应一个 K 值， 这个 K 就是你将来要移动的 j要移动的位置。而 K 的值是这样求的 。

next数组的使用

现在来讨论一下，next数组使用的细节。先前只说通过next数组来重新对齐，但其实对齐后，仍然会从主串的“失配”位进行比较，只是子串比较的位置变了。子串比较的位置应该是前缀的后一个字符，而由于next指出的是前缀的长度，那么next的值其实就是前缀后一个字符的位置。综上，“失配”后，主串的比较位置不变，子串的比较位置就是对应的next值（这部分会体现到之后的代码当中）。

那么next数组怎么计算呢，下面我们将给个代码解释

nex[0] = 1;      //初始化默认0的位置指向字符串的第一个
for (int i = 2, j = 0; i <= lenb; i++) {   //这里从i指针从模式串的第二个开始
	while (j && b[i] != b[j + 1]) j = next[j];   //如果不匹配，退回
	if (b[i] == b[j + 1]) //如果匹配，记录当前nex，并使j++，准备下一次比较
		j++;
	next[i] = j;
}

我们可以参照一下例子，理解此代码

三.匹配过程

注意匹配过程是在主串和模版串之间进行的，与next数组过程不同（next数组计算仅在模版串中进行）。

for (int i = 1,j=0; i <= lena; i++) {  //这里i指针指向的就是主串的第一个位置了
	while (j && a[i] != b[j + 1]) j = next[j];  //下面操作和处理next数组差不多
	if (a[i] == b[j + 1])
		j++;
}

同样我们也可以通过例子来理解匹配过程。

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四.例题分析

P3375 【模板】KMP

题目描述

给出两个字符串 s1​ 和 s2​，若 s1​ 的区间 [l,r] 子串与 s2​ 完全相同，则称 s2​ 在 s1​ 中出现了，其出现位置为 l。
现在请你求出 s2​ 在 s1​ 中所有出现的位置。

定义一个字符串 s 的 border 为 s 的一个非 s 本身的子串 t，满足 t 既是 s 的前缀，又是 s 的后缀。
对于 s2​，你还需要求出对于其每个前缀 ′s′ 的最长 border ′t′ 的长度。

输入格式

第一行为一个字符串，即为 s1​。
第二行为一个字符串，即为 s2​。

输出格式

首先输出若干行，每行一个整数，按从小到大的顺序输出 s2​ 在 s1​ 中出现的位置。
最后一行输出 ∣s2​∣ 个整数，第 i 个整数表示 s2​ 的长度为 i 的前缀的最长 border 长度。

输入输出样例

输入 #1复制

ABABABC
ABA

输出 #1复制

1
3
0 0 1 

数据规模与约定

本题采用多测试点捆绑测试，共有 3 个子任务。

• Subtask 1（30 points）：∣s1​∣≤15，∣s2​∣≤5。
• Subtask 2（40 points）：∣s1​∣≤104，∣s2​∣≤102。
• Subtask 3（30 points）：无特殊约定。

对于全部的测试点，保证 1≤∣s1​∣,∣s2​∣≤106，s1​,s2​ 中均只含大写英文字母。

KMP算法的模版题，通过分析代码，帮助我们更好的理解KMP算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000005
int j, lena,lenb;
int nex[N];
char a[N];
char b[N];
int main()
{
	scanf("%s%s", a + 1, b + 1);   //让字符串从数组1位置开始
	lena = strlen(a+1);
	lenb = strlen(b+1);            //主串和模版串的长度
	nex[0] = 1;
	for (int i = 2, j = 0; i <= lenb; i++) {    //next数组的计算
		while (j && b[i] != b[j + 1]) j = nex[j];
		if (b[i] == b[j + 1])
			j++;
		nex[i] = j;
	}
	for (int i = 1, j = 0; i <= lena; i++) {    //主串和模版串匹配
		while (j && a[i] != b[j + 1]) j = nex[j];
		if (a[i] == b[j + 1])
			j++;
		if (j == lenb)             //即j等于模版串长度时，从主串中找到模版串
		{
			cout << i - lenb + 1 << endl;  //输出其位置
			j = nex[j];            //回退，便于继续下一次匹配
		}
	}
	for (int i = 1; i <= lenb; i++) {
		cout << nex[i] << " ";
	}
	return 0;
}

P2957 [USACO09OCT] Barn Echoes G

这道题即可以用KMP算法做也可以用我们之前介绍的字符串哈希做，这里我们就介绍KMP算法的实现过程

第一个串的最后的部份 yzooo 跟第二个串的第一部份重复。第二个串的最后的部份 mo 跟第一个串的第一部份重复。所以 yzooo 跟 mo 都是这 22 个串的重复部份。其中，yzooo 比较长，所以最长的重复部份的长度就是 55。

根据这句话我们可以知道，其实我们只需要互为模板串，通过两次KMP求其各自的最大前后缀，最后比较取最大值即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000005
int j, lena, lenb, ansa, ansb, m;
int nex[N];
char a[N];
char b[N];
int main()
{
	scanf("%s%s", a + 1, b + 1);
	lena = strlen(a + 1);
	lenb = strlen(b + 1);
	nex[0] = 1;
	for (int i = 2, j = 0; i <= lenb; i++) {   //将b串当做模版串，计算next数组
		while (j && b[i] != b[j + 1]) j = nex[j];
		if (b[i] == b[j + 1])
			j++;
		nex[i] = j;
	}
	j = 0;
	for (int i = 1; i <= lena; i++) {       //a串为主串，b串为模版串，进行匹配
		while (j && a[i] != b[j + 1]) j = nex[j];
		if (a[i] == b[j + 1])
			j++;
	}
	ansa = j;
	memset(nex, 0, sizeof(nex));      //清空next数组，进行第二次KMP

	nex[0] = 1;
	for (int i = 2, j = 0; i <= lena; i++) {    //将a串当做模版串，计算next数组
		while (j && a[i] != a[j + 1]) j = nex[j];
		if (a[i] == a[j + 1])
			j++;
		nex[i] = j;
	}
	j = 0;
	for (int i = 1; i <= lenb; i++) {        //b串为主串，a串为模版串，进行匹配
		while (j && b[i] != a[j + 1]) j = nex[j];
		if (b[i] == a[j + 1])
			j++;
	}
	ansb = j;
	m = max(ansa, ansb);           //最后比较，取最大值
	cout << m << endl;
	return 0;
}

通过以上介绍，是否对KMP有了一个更深的了解，没有明白也没关系，这里也给你们推荐了KMP算法的详细讲解视频

最后在送给大家一段话，与各位共勉，希望在我们迷茫时候能够得到宽慰。

一个人能走的多远不在于他在顺境时能走的多快，而在于他在逆境时多久能找到曾经的自己。 ————KMP