目录

583. 两个字符串的删除操作

前言

思路

算法实现 

法二

72. 编辑距离

前言

思路

算法实现 

总结

---

583. 两个字符串的删除操作

题目链接

文章链接

前言

        本题与上一题不同的子序列相比，变化就是两个字符串都可以进行删除操作了。

思路

         利用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标的含义：

        dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

2.确定递推公式：

        递推公式的推导与前几题大致类似，都有分两种情况进行讨论：

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候；
• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

        对于word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

        当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

        情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1,

        情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1,

        情况三，同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]， 操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2；

        最终结果是取三种情况的最小值，dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

3.初始化dp数组：

        从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

        当word2为空字符串时，word1字符串的长度为i，因此要删i次才能与空字符串word2相等，所以dp[i][0]的初值为i，同理dp[0][j]的初值为j;

4.确定遍历顺序：

        从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

        所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5.打印dp数组：

        以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

算法实现 

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int> (word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 2));
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

法二

        利用求最长公共子序列的思想，两个字符串要删除的部分就是最长公共子序列之外的部分。

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int> (word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else 
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return word1.size() + word2.size() - dp[word1.size()][word2.size()] * 2;
    }
};

72. 编辑距离

题目链接

文章链接

前言

         前几题都是为了本题做铺垫，有了前面几题的学习接触本题就不会觉得非常困难，主要难点还是在于递推公式的确定，尤其是当两个字符串比较的位置字符不相等时递推公式的确定。

思路

         还是利用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标的含义：

        dp[i][j]：以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

2.确定递推公式：

        依然是分两种大情况进行讨论：

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同；
• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同；

        当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同时，不需要进行额外的操作（编辑距离），和word1以i - 2为结尾，word2以就j - 2为结尾要操作的次数一样，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]；

        而当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同时，要分别考虑删、增、换三种不同的情况；

        增删元素其实本质上是一样的，在word1中增加元素和在word2中删除元素起到的效果相同，此时dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1（删word1中的元素），或者dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1（删除word2中的元素）；

        替换元素时，替换word[i - 1]元素使其与word2[j - 1]相等（也可以倒过来），此时dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1；

3.dp数组初始化

        与上题一样dp[i][0] = i，dp[0][j] = j，只需要删除完所有字符就能与另一个空字符串相等；

4.确定遍历顺序：

        从递推公式可以看出，dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：

        

5.打印dp数组：

        以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

         

算法实现 

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int> (word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else 
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1));
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

总结

        今天的两道题是前面几道题的深化，循序渐进。