474. 一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/submissions/501607337/

思路

之前的背包问题中，我们对背包的限制是容量，即每个背包装的物品的重量和不超过给定容量，这道题的限制是0和1的个数，因此这个背包是二维m和n，最多可以装m个0和n个1。数组中的每个元素都是一个物体，包含若干个0和1。

1. dp数组定义

dp[i][j]: 最多装i个0和j个1的背包最多能装dp[i][j]个物体。

2. 递推公式

遍历每个物体，这个物体有x个0和y个1，我们选择装或者不装这个物体。如果不装它，那么背包中的物体保持原样，如果装它，就要为它腾出相应的0和1的位置，腾出后背包能最多装dp[i-x][j-y]个物体，再加上当前物体，即dp[i-x][j-y]+1，因此递推公式为：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-x][j-y]+1)

3. 初始条件

01背包的dp数组初始化为0就可以。

4. 遍历顺序

外层遍历物体，内层分别遍历背包容量的两个维度，且倒序遍历。在下面的文章中讲过具体细节：代码随想录算法训练营第四十六天（动态规划篇）|01背包（滚动数组方法）-CSDN博客

5. 举例推导dp数组

以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：

代码实现

class Solution(object):
    def findMaxForm(self, strs, m, n):  # m个0，n个1
        dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
       # zeros, ones = 0, 0
        for s in strs:
            zeros = s.count('0')
            ones = s.count('1')
            for i in range(m, zeros-1, -1):
                for j in range(n, ones-1, -1):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-zeros][j-ones]+1)
        return dp[m][n]

完全背包理论基础

题目链接：题目页面

思路

完全背包允许物体被重复放入，它的代码与01背包的区别在于遍历顺序。01背包对内部容量的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历。

代码实现

N, V = map(int, input().split())
weight, value = [0]*N,[0]*N
for i in range(N):
    weight[i], value[i] = map(int,input().split())

dp = [0]*(V+1)
for i in range(N):
    for j in range(weight[i], V+1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i])
print(dp[j])