导读：本文主要围绕材料非线性问题的有限元Matlab编程求解进行介绍，重点围绕牛顿-拉普森法（切线刚度法）、初应力法、初应变法等三种非线性迭代方法的算法原理展开讲解，最后利用Matlab对材料非线性问题有限元迭代求解算法进行实现，展示了实现求解的核心代码。这些内容都将收录在我的原创精品课《matlab有限元编程从入门到精通》

今天我主要围绕材料非线性问题的有限元Matlab编程求解进行介绍，重点围绕牛顿-拉普森法（切线刚度法）、初应力法、初应变法等三种非线性迭代方法的算法原理展开讲解，最后利用Matlab对材料非线性问题有限元迭代求解算法进行实现，展示了实现求解的核心代码。由于篇幅原因，本文分两期分享，今天重点介绍切线刚度法（牛顿-拉普森法）案例应用。

一、切线刚度法（牛顿-拉普森法）案例背景

本次课程同样以具体案例为对象进行材料非线性问题的有限元变成求解，求解模型如图1，模型边界为20m×10m，材料本构方程如公式1所示，其中，弹性模量E=20MPa，泊松比0.35，模型上表面中间位置作用20kPa超载，超载作用范围为4m。按照平面应变问题考虑，使用常应变三角形单元分析模型上表面中间点竖向沉降，对应的有限元模型和计算结果如图2、3所示。

（1）

图1 两物体接触的平面应力问题

图2 有限元模型

图3 切线刚度法计算结果

二、有限元求解原理

由图2所示，有限元离散方式采用的是三节点三角形单元进行离散，因此我们要有三角形平面单元弹性问题的求解基础知识，大家可以观看仿真秀视频课程《matlab有限元编程从入门到精通》中的“三角形单元悬臂梁matlab有限元编程”小节，详细讲解了基于三角形三节点单元的有限元离散过程以及弹性刚度矩阵的推导