倍增法+LCA（C/C++）

news2024/11/25 18:55:31

1 介绍

2 基本模板

1 介绍

倍增法(binary lifting)，是一种每次将情况翻倍从而将线性处理转化为对数级处理，进而极大优化时间复杂度的方法。

2 基本模板

//预处理复杂度同为O(nlogn),查询时间上，ST表为O(1),线段树为O(logn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+10;
int a[N];//原始输入数组
//st表,表示需要查询的数组的从下标i到下标i+2^j-1的最值
int mx[N][30];//最大值 
int mn[N][30];//最小值 
 
//预处理 
void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	mx[i][0]=a[i];
    	mn[i][0]=a[i];
	}
 
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)<=n+1;i++){
        	mn[i][j] = min(mn[i][j-1],mn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        	mx[i][j] = max(mx[i][j-1],mx[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
    }
}
 
//查询函数 
int search(int l,int r)//l和r范围为1~n 
{
	int k=log2(r-l+1);
	int t1=min(mn[l][k],mn[r-(1<<k)+1][k]);//区间最小值 
	int t2=max(mx[l][k],mx[r-(1<<k)+1][k]);//区间最大值 
	return t2-t1;
}
 
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	int n,q;scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	init(n);
	while(q--){
		int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%d\n",search(l,r));
	}
	return 0;
}

3 最近公共祖先（LCA）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,rt;
int d[100],f[100][22];
int lg[100];
vector<int>G[100];

void dfs(int u,int fa)
{
	d[u]=d[fa]+1;
	f[u][0]=fa;
	//f[u][0]是父亲，然后是第二个祖先，第四个祖先，。。。以此类推 
	for(int i=0;i<lg[d[u]];++i) f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
	for(int i=0;i<G[u].size();i++) if(G[u][i]!=fa) dfs(G[u][i],u);
}

int lca(int x,int y)
{
	if(d[x]<d[y]) swap(x,y);            //x的深度大
	//倍增【1】：先跳到同一深度。只要前者深度大于后者，前者跳到第2^【log2(深度差)-1】（即：深度差 - 1）个祖先 
	//while(d[x]>d[y]) x = f[x][lg[d[x]-d[y]]-1]; 
	for(int i=20;i>=0;i--) if(d[f[x][i]]>=d[y]) x=f[x][i];
	if(x == y) return x;               //此时深度相同。两者相等的话说明原先的y是x的祖先。此时的x或y就是lca
	//倍增【2】：找lca。【二进制思维】从大到小尝试往上跳 
	//如果两者祖先不相等就往上跳：x跳到第2^【log2(x的深度)-1】（即：x的深度-1）个祖先 
	//鉴于x和y的深度一直一样，因此如果祖先相等，说明可能超过了lca的位置。
	for(int k = lg[d[x]]-1;k>=0;--k)           
		if(f[x][k]!=f[y][k]) x = f[x][k],y = f[y][k]; 
	return f[x][0];                   
}

void init(int n)
{
	memset(d,0,sizeof(d));
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;++i) G[i].clear();
} 

int main()
{
	cin>>n>>m>>rt;
	for(int i=1;i<=n;++i) lg[i] = lg[i-1] + (1<<lg[i-1] == i);
	int x,y,k;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		cin>>x>>y;
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x);
	}
	// 常数优化，求出 log2(x) + 1 
	dfs(rt,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>x>>y;
		cout<<lca(x,y)<<endl;
	} 
	return 0;
}

补充：蓝桥杯简介

一. 蓝桥杯赛事简介

蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛，是由工业和信息化部人才交流中心举办的全国性IT学科赛事。全国1200余所高校参赛，累计参赛人数超过40万人。蓝桥杯大赛连续两年被列入中国高等教育学会发布的“全国普通高校学科竞赛排行榜”，是高校教育教学改革和创新人才培养的重要竞赛项目。对大学生综合评测，奖学金评定，升学考研都有一定助益。

大赛共包括三个竞赛组别，个人赛-软件类，个人赛-电子类，以及视觉艺术大赛。其中个人赛-软件类的比赛科目包括C/C++程序设计、Java软件开发、Python程序设计。今年第十二届蓝桥杯报名时间是2020年12月-2021年3月，4月省赛，5月国赛。

蓝桥杯大赛已成功举办11届，成为国内始终领跑的人才培养选拔模式，并受到行业和企业的高度认可，含金量也逐年增加，主要体现在：

蓝桥杯大赛题目的专业度高，专业度和难度已经与国际国内知名程序设计类竞赛不相上下。

双一流大学的参与度逐年提高，以最近的第11届蓝桥杯大赛为例，来自双一流大校的参赛选手近10000名；

专业顶尖选手越来越多，对历年选手的跟踪回访，发现大赛选手与ACM参赛选手高度重叠，可谓赢家通吃。

二. 参加蓝桥杯的好处

大学，是人生中最美最重要的时段。在大学，有的人经历苍白，有的人经历丰富，究竟是苍白还是丰富，取决于人的选择。如果你是IT类的学生，那么，我建议你了解并参加蓝桥杯大赛。既然我这么建议，那肯定是有道理的，比如：

1. 可以丰富自己的大学经历

有的人，在大学失去了方向和斗志，浑浑噩噩，当初信誓旦旦要从事IT相关领域，最后发现，是从事打游戏这个领域，毕业前才发现，自己所学甚少。而蓝桥杯大赛，恰好可以让你丰富自己的大学经历，不枉费专业，不虚此行。

2. 可以提供自己的实力和水平

有不少同学是很有上进心的，但苦于不知道怎么发力。那么，蓝桥杯大赛，能给你指引好方向，让你处在竞争的氛围中，牵引着你向前。通过大赛实战，不断地检验和完善自己，经历挫败和曲折后，获得成功，这种经历，尤为珍贵。

3. 可以为将来的职业铺好道路