一、原码、反码、补码的意义

由于计算机的硬件决定，任何存储于计算机中的数据，其本质都是以二进制码存储。

根据冯·诺依曼提出的经典计算机体系结构框架，一台计算机由运算器、控制器、存储器、输入和输出设备组成。其中运算器只有加法运算器，没有减法运算器（据说一开始是有的，后来由于减法运算器硬件开销太大，被废了）。

所以计算机中没办法直接做减法的，它的减法是通过加法实现的。现实世界中所有的减法也可以当成加法的，减去一个数可以看作加上这个数的相反数，但前提是要先有负数的概念，这就是为什么不得不引入一个符号位。符号位在内存中存放的最左边一位，如果该位位0，则说明该数为正；若为1，则说明该数为负。

而且从硬件的角度上看，只有正数加负数才算减法，正数与正数相加，负数与负数相加，其实都可以通过加法器直接相加。

意义：

原码、反码、补码的产生过程就是为了解决计算机做减法和引入符号位的问题。

三、原码

原码：是最简单的机器数表示法，用最高位表示符号位，其他位存放该数的二进制的绝对值。

以带符号位的四位二进制数为例：1010，最高位为1表示这是一个负数，其它三位010，即0*2^2+1*2^1+0*2^0=2，所以1010表示十进制数-2。

原码的表示法很简单，虽然出现了+0和-0，但是直观易懂。于是开始运算——

0001+0010=0011，1+2=3；
0000+1000=1000，+0+(-0)=-0；
0001+1001=1010，1+(-1)=-2。

于是可以看到其实正数之间的加法通常是不会出错的，因为它就是一个很简单的二进制加法，而正数与负数相加，或负数与负数相加，就要引起莫名其妙的结果，这都是符号位引起的。0分为+0和-0也是因它而起。

原码的特点：

1. 原码表示直观、易懂，与真值转换容易。

2. 原码中0有两种不同的表示形式，给使用带来了不便。

通常0的原码用+0表示，若在计算过程中出现了-0，则需要用硬件将-0变成+0。

3. 原码表示加减运算复杂。（存在的问题）

利用原码进行两数相加运算时，首先要判别两数符号，若同号则做加法，若异号则做减法。在利用原码进行两数相减运算时，不仅要判别两数符号，使得同号相减，异号相加；还要判别两数绝对值的大小，用绝对值大的数减去绝对值小的数，取绝对值大的数的符号为结果的符号。可见，原码表示不便于实现加减运算。

原码存在的问题：

原码解决了计算机只有加法运算器进行运算的问题，不便进行加减运算。

四、反码

原码最大的问题就在于一个数加上它的相反数不等于0，于是反码的设计思想就是冲着解决这一点，既然一个负数是一个正数的相反数，那干脆用一个正数按位取反来表示负数。

反码：正数的反码还是等于原码；负数的反码就是它的原码除符号位外，按位取反。

以带符号位的四位二进制数为例：3是正数，反码与原码相同，则可以表示为0011；-3的原码是1011，符号位保持不变，低三位按位取反，所以-3的反码为1100。

再试着用反码的方式解决一下原码的问题——

0001+1110=1111，1+(-1)=-0； //正确
1110+1100=1010，(-1)+(-3)=-5。//此处应该是-4

互为相反数相加等于0，虽然的到的结果是1111也就是-0。但是两个负数相加的出错了。

反码的特点：

1. 在反码表示中，用符号位表示数值的正负，形式与原码表示相同，即0为正；1为负。
2. 在反码表示中，数值0有两种表示方法。
3. 反码的表示范围与原码的表示范围相同。

反码表示在计算机中往往作为数码变换的中间环节。

存在的问题：

反码解决了正负相加， 但负负相加结果错误；

五、补码

补码的出现是为了解决负数计算的问题， 不影响正数， 所以正数的补码是本身，负数补码有变化。

补码：正数的补码等于它的原码；负数的补码等于反码+1（这只是一种算补码的方式，多数书对于补码就是这句话）。

其实负数的补码等于反码+1只是补码的求法，而不是补码的定义，很多人以为求补码就要先求反码，其实并不是，那些计算机学家并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码，只不过补码正好就等于反码+1而已。

如果有兴趣了解补码的严格说法，建议可以看一下《计算机组成原理》，它会用“模”和“同余”的概念，严谨地解释补码。

六、补码的思想（模&&同余数）

补码的思想，第一次见可能会觉得很绕，但是如果肯停下来仔细想想，绝对会觉得非常美妙。

补码的思想其实就是来自于生活，只是我们没注意到而已，如时钟、经纬度、《易经》里的八卦等。补码的思想其实就类似于生活中的时钟。

如果说现在时针现在停在10点钟，那么什么时候会停在八点钟呢？

简单，过去隔两个小时的时候是八点钟，未来过十个小时的时候也是八点钟。
也就是说时间倒拨2小时，或正拨10小时都是八点钟。
也就是10-2=8，而且10+10=8。
这个时候满12，说明时针在走第二圈，又走了8小时，所以时针正好又停在八点钟。

所以12在时钟运算中，称之为模，超过了12就会重新从1开始算了。

也就是说，10-2和10+10从另一个角度来看是等效的，它都使时针指向了八点钟。

既然是等效的，那么在时钟运算中，减去一个数，其实就相当于加上另外一个数（这个数与减数相加正好等于12，也称为同余数），这就是补码所谓运算思想的生活例子。

在这里，再次强调原码、反码、补码的引入是为了解决做减法的问题。在原码、反码表示法中，我们把减法化为加法的思维是减去一个数等于加上这个数的相反数，结果发现引入符号位，却因为符号位造成了各种意想不到的问题。

但是从上面的例子中，可以看到其实减去一个数，对于数值有限制、有溢出的运算（模运算）来说，其实也相当于加上这个数的同余数。

也就是说，不引入负数的概念，就可以把减法当成加法来算。

对于数值有限制、有溢出的运算（模运算）来说，其实也相当于加上这个数的同余数。

模 && 同余数：

数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

例如：12小时为时间的模，b = 2, a = 2%12 = 10

简单，过去隔两个小时的时候是八点钟，未来过十个小时的时候也是八点钟。 也就是说时间倒拨2小时，或正拨10小时都是八点钟。 也就是10-2=8，而且10+10=8。 这个时候满12，说明时针在走第二圈，又走了8小时，所以时针正好又停在八点钟。

问题：现在是10点， 过去2个小时是几点？
算术计算： 10 - 2 = 8
计算机没有减法： 减去一个数等于加上一个数的同余数
10 - 2 = 10 + 2的同余数 
2的同余数 = 2%12 = 10 =>
10 - 2 = 10 + 2的同余数 = 10 + 10 = 20

七、补码的实例

接下来就做一做四位二进制数的减法（先不引入符号位）。

0110-0010，6-2=4，但是由于计算机中没有减法器，没法算。

这时候，想想时钟运算中，减去一个数，是可以等同于加上另外一个正数（同余数），这个数与减数相加正好等于模。

四位的模： 其实就是2^4=16（二进制10000）。

• -2的同余数 = 10000（模）- 0010 = 1110，16-2 = 14。
• 所以，0110-0010=0110+1110=10100，6-2=6+14=20。

按照这种算法得出的结果是10100，但是对于四位二进制数最大只能存放4位，如果低四位正好是0100，正好是想要的结果

但是减去2，从另一个角度来说，也是加上-2，即加上-2和加上14得到的二进制结果除了进位位，结果是一样的。如果我们把1110（-2的同余数）的最高位看作符号位后就是-2的补码，这可能也是为什么负数的符号位是1，而不是0。

到这里，原码、反码的问题，补码基本解决了。

在补码中也不存在-0了，因为1000表示-8。

补码的特点：

1. 在补码表示中，用符号位表示数值的正负，形式与原码的表示相同，即0为正，1为负。但补码的符号可以看做是数值的一部分参加运算。

正数的补码表示就是其本身，负数的补码表示的实质是把负数映像到正值区域，因此加上一个负数或减去一个正数可以用加上另一个数（负数或减数对应的补码）来代替。
从补码表示的符号看，补码中符号位的值代表了数的正确符号，0表示正数，1表示负数；而从映像值来看，符号位的值是映像值的一个数位，因此在补码运算中，符号位可以与数值位一起参加运算。

2. 在补码表示中，数值0只有一种表示方法。

3. 负数补码的表示范围比负数原码的表示范围略宽。纯小数的补码可以表示到-1，纯整数的补码可以表示到-2^n。

由于补码表示中的符号位可以与数值位一起参加运算，并且可以将减法转换为加法进行运算，简化了运算过程，因此计算机中均采用补码进行加减运算。

八、为什么负数的补码的求法是反码+1

因为负数的反码加上这个负数的绝对值正好等于1111，在加1，就是10000，也就是四位二进数的模，

而负数的补码是它的绝对值的同余数，可以通过模减去负数的绝对值得到它的补码，所以负数的补码就是它的反码+1。

• 减去一个数 等于 加上一个数的同余数
• 减去一个数 等于 加上一个负数

计算公式：

模 = 负数的反码 + 负数的绝对值 + 1

例如：模 =  -2的反码 + -2的绝对值 + 1 = 1101 +0010 +1 = 1111 + 1 = 10000

负数的补码 = 绝对值的同余数 = 模 - 负数的绝对值

= （负数的反码 + 负数绝对值 + 1） - 负数的绝对值

= 负数的反码 + 1

所以：

负数的补码 = 反码 + 1

为什么补码表示正数少一位， 而负数多一个数， 例如4位， 正数是0~127， 负数是-1~-128

答：编码的发展经历： 原码 -> 反码 -> 补码的过程；

在反码时代， 有正0和负0， 如果是4位编码的话，既0000和1000， 由于反码负数计算问题又发明了补码， 正数计算不受影响， 在补码时代正数补码仍然是本身， 表示范围是所以0~127， 而反码的负0在补码时代变成了-128；

所以补码表示范围：正数是0~127， 负数是-1~-128。

九. 移码

在计算机浮点数的表示是采用尾数+阶码的方式表示， N=M*2^E, 其中阶数E采用移码表示。

公式：移码 = 补码的符号位取反

移码的表示方法是：

在偏移2n-1的情况下只要将补码的符号位取反便可获得相应的移码表示。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补 = [10000001]移
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补 = [01111111]移