微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） 向量函数和曲线论

news2024/11/15 3:25:21

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目录

  • 引出
  • 向量函数
  • 曲线论
    • 简单曲线定义
      • 曲线的向量参数表示
    • 曲线的切线【重要】
    • 曲线的法面【重要】
    • 曲线的自然参数表示
  • 空间曲线
    • 曲线的密切平面
    • 空间曲线的基本三棱形【重要】
      • 单位切向量
      • 主法向量
      • 副法向量
      • Frenet标架
      • 螺旋线的案例
    • 曲线的曲率和曲率半径
      • 曲率的几何意义
    • 曲线的挠率
      • 挠率的几何意义
    • 空间曲线在一点邻近的结构
    • 空间曲线论基本定理
      • 一般螺旋线
  • 总结

引出

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

向量函数

向量函数定义及其表示方式

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k次可微函数

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向量函数的泰勒公式

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曲线论

简单曲线定义

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曲线的参数方程

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曲线的向量参数表示

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案例：

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曲线的切线【重要】

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案例：

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曲线的法面【重要】

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案例：

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曲线的自然参数表示

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案例：

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空间曲线

这一节，我们研究空间曲线的基本理论，主要将研究刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量一曲率和挠率，以及研究空间曲线在一点邻近的近似形状，并找出决定空间曲线的条件.

曲线的密切平面

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案例：

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空间曲线的基本三棱形【重要】

单位切向量

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主法向量

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副法向量

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Frenet标架

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计算公式：

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螺旋线的案例

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接下来主法线，副法线

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求基本向量

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曲线的曲率和曲率半径

我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲的程度较大

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曲率的几何意义

由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.

曲率半径：

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曲线的挠率

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挠率的几何意义

此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大)，副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大。因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度

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空间曲线的伏雷内公式

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案例：

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案例：

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空间曲线在一点邻近的结构

曲线在某点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状.

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空间曲线论基本定理

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一般螺旋线

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空间曲线论的基本定理指出，曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时，就会得到不同类型的曲线.例如，k=0时为直线，t=0时为平面曲线.在这部分我们对常见的曲线一一般螺线进行较为详细的讨论，这对于进一步了解曲线的理论是非常必要的.

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一般螺旋线的性质：

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总结

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

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