从一个问题开始
给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4] ]
很容易想到 用两个for循环就可以解决。
如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。
此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！
回溯法的本质
回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。
那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？
因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下(但最坏时间复杂度一般来说还是)，还没有更高效的解法。
搜索空间： 子集树
比如简单背包问题的解空间，本质就是一个满二叉树，只不过会通过剪枝避免暴力得出所有可能的解。
这里介绍的模版不会在求解时进行剪枝，因为本人认为这会让一个模版变得较为复杂，可能达到真正意义上的“通用性”，而是在获取到所有可能的解之后再按题目的要求进行筛选。
回溯法:0-1背包问题-CSDN博客
其中两个可行解为：
一个回溯法模版回顾
参考文章：代码随想录
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}这个模版使用最大的难点就是如何写出终止条件，在递归过程中来存放结果往往会使得这个模版用起来较为困难。所以接下来介绍的模版是直接拿到所有的解之后再按条件进行筛选
暴力回溯法的模版
亮点在于容易写出来，缺点在回溯中没有用到剪枝，最好最坏时间复杂度都为
本质就是拿到一个高为N的树所有的叶子结点
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class KnapsackProblem1 {
static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
//path记录所有的可能,最后结果总共个数必定为2^N
static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
//N代表着问题规模的大小,即2^N,最终的叶子结点个数就是2^N
static int N = 4;
public static void main(String[] args) {
backtracking();
}
public static void backtracking() {
if (path.size() == N) {
//找到了一个叶子结点，就保存下来
//就算这个叶子结点是不满足题目的要求也保存下来
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
//往1走代表选择这个元素
path.add(1);
backtracking();
path.removeLast();
//往0走代表不选择这个元素
path.add(0);
backtracking();
path.removeLast();
}
}
易于剪枝的回溯法模版应用
0-1背包问题
问题描述
给定种物品和一背包。 物品
的重量是
， 其价值为
，背包的容量为 c。 问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？注意物品不重复!
实例：物品价值V={12, 11, 9, 8}, 物品重量W={8, 6, 4, 3}, 背包容量c=13
结点：向量 （ 子集的部分特征向量）
搜索空间： 子集树，片树叶
其中两个可行解为：
实现代码
终止条件代码
public static void backtracking(int n, int startIndex) {
if (startIndex>=n){
//此时startIndex越界了
if (getPathSum()<=c){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
return;
}
//再加后面任意一个就肯定不够了
if (getPathSum()<=c&&(getPathSum() + items_min_weight[startIndex]) > c) {
// if (getPathSum()<c) {
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i < n; i++) {
path.add(i);
backtracking(n, i + 1);
path.removeLast();
}最终代码(含注释)
需要注意的是这里的可行，是再加上未选中的任意一项就>背包容量C
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class KnapsackProblem {
static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
static int N = 4;
// static int[] items_weight = new int[N];
static int[] items_weight = {8, 6, 4, 3};
// static int[] items_value = new int[N];
static int[] items_value = {12, 11, 9, 8};
//每个items_min_weight(对应下标为i)的值为min{items_weight[i],...,items_weight[N-1]}
static int[] items_min_weight = new int[N];
//c为背包的容量
static int c=13;
public static void main(String[] args) {
items_min_weight[N - 1] = items_weight[N - 1];
int min = items_min_weight[N - 1];
for (int i = items_weight.length - 2; i >= 0; i--) {
if (items_weight[i] < min) {
min = items_weight[i];
}
items_min_weight[i] = min;
}
backtracking(N, 0);
System.out.println("可行解有:");
result.forEach(System.out::println);
//要是想求最优解,直接对每个可行解对应重量求和,之后取最大一个就好啦
}
public static void backtracking(int n, int startIndex) {
if (startIndex>=n){
//此时startIndex越界了
if (getPathSum()<=c){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
return;
}
//再加后面任意一个就肯定不够了
if (getPathSum()<=c&&(getPathSum() + items_min_weight[startIndex]) > c) {
// if (getPathSum()<c) {
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i < n; i++) {
path.add(i);
backtracking(n, i + 1);
path.removeLast();
}
}
public static int getPathSum() {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < path.size(); i++) {
sum += items_weight[path.get(i)];
}
return sum;
}
}
八皇后问题
问题背景
八皇后问题是十九世纪著名的数学家高斯于1850年提出的。
• 问题是：在8×8的棋盘上摆放八个皇后， 使其不能互相攻击， 即任意两个皇后都不能处于同一行、 同一列或同一斜线上。
• n皇后问题：即在n× n的棋盘上摆放n个皇后， 使任意两个皇后都不能处于同一行、 同一列或同一斜线上。
搜索空间:N叉树
4后问题：解是一个4维向量， (x1, x2, x3, x4)（放置列号），这里x1为第一行，x2为第二行，以此类推。
搜索空间： 4叉树
8后问题：解是一个8维向量， (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8)
搜索空间： 8叉树,一个解： <1,3,5,2,4,6,8,7>
问题分析
确定问题状态： 问题的状态即棋盘的布局状态。
构造状态空间树： 状态空间树的根为空棋盘，每个布局的下一步可能布局是该布局结点的子结点。
由于可以预知，在每行中有且只有一个皇后，因此可采用逐行布局的方式，即每个布局有n个子结点
⚫ 设4个皇后为xi， 分别在第i行(i=1， 2， 3， 4)；
⚫ 问题的解状态：可以用(1, x1)， (2, x2)， ……， (4, x4)表示4个皇后的位置；
⚫ 由于行号固定， 可简单记为： (x1, x2, x3, x4)；例如：(4, 2, 1, 3)
⚫ 问题的解空间： (x1, x2, x3, x4)， 1≤xi≤4 (i=1， 2， 3， 4)， 共4! 个状态；
4皇后问题解空间的树结构
约束条件
⚫ 任意两个皇后不能位于同一行上;
⚫ 任意两个皇后不能位于同一列上，所以解向量X必须满足约束条件：
搜索解空间中进行剪枝
（1） 从空棋盘起， 逐行放置棋子。
（2） 每在一个布局中放下一个棋子， 即推演到一个新的布局。
（3） 如果当前行上没有可合法放置棋子的位置，则回溯到上一行， 重新布放上一行的棋子。
以4皇后问题为例
为了简化问题， 下面讨论4皇后问题。4皇后问题的解空间树是一个完全4叉树， 树的根结点表示搜索的初始状态， 从根结点到第2层结点对应皇后1在棋盘中第1行可能摆放的位置， 从第2层到第3层结点对应皇后2在棋盘中第2行的可能摆放的位置， 以此类推。
回溯法求解4皇后问题的搜索过程
n=4的n皇后问题的搜索、 剪枝与回溯
代码思路
参考文章：代码随想录
回溯模板
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}递归终止条件
if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}单层搜索的逻辑
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}验证棋盘是否合法
按照如下标准去重：
不能同行(搜索过程从上到下自动解决了这个问题)
不能同列
不能同斜线 （45度和135度角）
实现代码与相关解释
package DaiMaSuiXiangLu;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class N_queen {
//res用来存储可能的结果
static List<List<String>> res = new ArrayList<>();
public static void main(String[] args) {
int n = 4;
//画棋盘n*n
char[][] chessboard = new char[n][n];
for (char[] c : chessboard) {
Arrays.fill(c, '.');
}
backTrack(n, 0, chessboard);
for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
System.out.println("方案"+(i+1));
for (int j = 0; j < res.get(i).size(); j++) {
System.out.println(res.get(i).get(j));
}
}
}
/**
* @param n 棋盘的大小
* @param row 当初正在处理哪一行
* @param chessboard 当前棋盘的状况
*/
public static void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
if (row == n) {
//将结果赋给的新的list
//这是因为List是引用类型，需要每次开辟新的空间给一个新的list来保存结果
res.add(Array2List(chessboard));
return;
}
for (int col = 0; col < n; ++col) {
//剪枝操作,暴力点也可以不剪枝，对最后保存下来的多个结果去检查他们的合法性
//尝试对该行的每一列放置皇后
if (isValid(row, col, n, chessboard)) {
chessboard[row][col] = 'Q';
backTrack(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.';
}
}
}
//用于生成新的list
public static List Array2List(char[][] chessboard) {
List<String> list = new ArrayList<>();
for (char[] c : chessboard) {
list.add(String.copyValueOf(c));
}
return list;
}
/**
*
* @param row 当前递归是在row行,col列放置了一个新的皇后
* @param col 当前递归是在row行,col列放置了一个新的皇后
* @param n 棋盘大小
* @param chessboard 当前棋盘的状况
* @return 是否违背了合法性
*/
public static boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
//行无需检查,因为backTrack的递归保证了每一行只有一个皇后
// 检查列
for (int i = 0; i < row; ++i) { // 相当于剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查45度对角线
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查135度对角线
for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j <= n - 1; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
}暴力回溯法模版应用
组合问题
回到文章开头的问题
给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4]]
添加的solveCombinationProblem仅仅是用来筛选满足条件的解
package DaiMaSuiXiangLu;
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class KnapsackProblem1 {
static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
//path记录所有的可能,最后结果总共个数必定为2^N
static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
//N代表着问题规模的大小,即2^N,最终的叶子结点个数就是2^N
static int N = 4;
public static void main(String[] args) {
//组合问题
int K = 2;
solveCombinationProblem(K);
}
public static void backtracking() {
if (path.size() == N) {
//找到了一个叶子结点，就保存下来
//就算这个叶子结点是不满足题目的要求也保存下来
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
path.add(1);
backtracking();
path.removeLast();
path.add(0);
backtracking();
path.removeLast();
}
public static void solveCombinationProblem(int k) {
int time = 0;
for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
//用来记录该叶子结点中1的个数
time = 0;
List<Integer> answer = result.get(i);
for (int j = 0; j < answer.size(); j++) {
if (answer.get(j) == 1) {
time++;
}
}
if (time == k) {
for (int j = 0; j < answer.size(); j++) {
if (answer.get(j) == 1) System.out.print((j + 1) + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
}
0-1背包问题
用之前回溯法的模版会发现终止条件不好写出来
回溯法:0-1背包问题-CSDN博客
但用该文章推荐的模版很好地解决这个问题
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class KnapsackProblem1 {
static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
//path记录所有的可能,最后结果总共个数必定为2^N
static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
//N代表着问题规模的大小,即2^N,最终的叶子结点个数就是2^N
static int N = 4;
public static void main(String[] args) {
backtracking();
//背包问题
int[] items_weight={8,6,4,3};
int[] items_value={12,11,9,8};
int C=13;
solveKnapsackProblem(items_weight,items_value,C);
}
public static void backtracking() {
if (path.size() == N) {
//找到了一个叶子结点，就保存下来
//就算这个叶子结点是不满足题目的要求也保存下来
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
path.add(1);
backtracking();
path.removeLast();
path.add(0);
backtracking();
path.removeLast();
}
public static void solveKnapsackProblem(int[] items_weight, int[] items_value, int C) {
//值得注意的是items_weight和items_value的长度都为N
int sum_weight = 0;
int sum_value = 0;
//记录现在能达到的最大价值
int max_value = -1;
for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
sum_weight = 0;
sum_value = 0;
List<Integer> answer = result.get(i);
for (int j = 0; j < answer.size(); j++) {
if (answer.get(j) == 1) {
sum_value += items_value[j];
sum_weight += items_weight[j];
}
}
//不高于背包容量且比之前找到的最大价值还大
if (sum_weight <= C && sum_value > max_value) {
max_value = sum_value;
}
}
System.out.println(max_value);
}
}
