2024年数学建模美赛 A~E 题目解析

2024美赛A题：资源可用性和性别比例

背景

尽管一些动物物种不属于通常的雄性或雌性，大多数物种在出生时要么显著地为雄性，要么为雌性。虽然许多物种在出生时表现出1:1的性别比，但其他物种则偏离了这个均衡的性别比例。这被称为性别比的适应性变异。例如，美国短吻鳄孵化蛋的巢穴温度就会影响性别比例。

七鳃鳗的角色非常复杂。在某些湖泊栖息地中，它们被视为寄生物，对生态系统有着显著影响，然而在世界某些地区，如斯堪的纳维亚、波罗的海地区，以及太平洋地区的一些原住民社群中，七鳃鳗也是食物来源。

七鳃鳗的性别比例会根据外部环境变化而变化。海洋七鳃鳗的雌雄成比取决于它们在幼虫阶段的生长速度。快速生长通常受食物可用性的影响。在食物可用性低的环境中，生长率会降低，雄性比例可以达到大约78%的种群。在食物较为丰富的环境中，雄性的比例观察到约为56%。

要求

我们专注于性别比例及其对本地条件依赖性的问题，特别是对于七鳃鳗。七鳃鳗生活在湖泊和海洋的栖息地，会沿河迁移产卵。此任务是为了检验物种能够在资源可用性变化下调整性别比的优势与劣势，以及为了提供生态系统内相互作用的洞见而开发和检验一个模型。你的团队应该开发并检验一个模型以提供对生态系统内相互作用的洞见。

问题

问题一：当七鳃鳗的性别比例变化时，对更大生态系统的影响是什么？
问题二：七鳃鳗的性别比例的变化对七鳃鳗种群本身有何利弊？
问题三：这些性别比例的变化对生态系统的稳定性有何影响？
问题四：当一个物种能够改变其性别比例以适应资源的变化时，对该物种自身有何影响？

2024美赛B题：寻找潜水器

题目

希腊的海洋游轮迷你潜水艇公司（MCMS）生产能够携带人类进入海洋最深处的潜水艇。这些潜水艇能够从一艘母船上部署，并且不用缆绳固定。MCMS现在希望使用他们的潜水艇带领游客在爱奥尼亚海探索沉船。在此之前，他们需要通过开发一系列在与母船失联或潜水艇可能出现机械故障（包括潜水艇推进系统失效）的安全程序，以获得监管机构的批准。他们希望你们能够开发一个随时间预测潜水艇位置的模型。与一般的搜救行动不同，失效的潜水艇可能会在海底或水中某处达到中性浮力。它的位置可能会受到海流、海水密度差异和/或海底地理状况的影响。

你的任务包括：

问题

问题一：定位

开发一个或多个随时间预测潜水艇位置的模型。
这些预测相关的不确定性有哪些？
潜水艇可以周期性地向母船发送哪些信息以减少事故前的不确定性？事故发生前需要哪些设备？

问题二：准备

你会建议公司在母船上携带哪些额外的搜救设备呢？你可以考虑不同类型的设备，但必须同时考虑可用性、维护、准备情况和成本。救援船只需要带上什么额外设备呢？

问题三：搜寻

开发一个模型，使用你的定位模型信息来推荐初始部署点和搜索模式，以便就设备的搜寻定位进行初始规划和调整。确定潜水艇位置的概率随时间和累积搜索量的函数。

问题四：推断

你的模型如何扩展到在加勒比海等其他目的地的搜索？你的模型如何适应不同的水流、水密度和地理状况？

2024美赛C题：网球中的动量

背景

在2023年温布尔登男子单打决赛中，20岁的西班牙新星阿尔卡拉兹击败了36岁的诺瓦克·德约科维奇。这是德约科维奇自2013年以来在温布尔登的首次失利，也终结了这位历史上最伟大的网球运动员之一在大满贯赛事中的非凡纪录。

这场比赛本身是一场精彩的战斗。德约科维奇似乎注定要轻松获胜，因为他在首盘以6比1（其中赢得了7个发球局）主宰了比赛。第二盘同样轻松，最终以6比2赢得比赛。但第三盘成为了第一盘的完全相反，阿尔卡拉兹以6比1赢得比赛。这位年轻的西班牙选手似乎在第四盘开始时完全控制了比赛，但不知怎的，形势再次发生了变化，德约科维奇以6比3将比赛拖入决胜盘。最后一盘开始时德约科维奇带着从第四盘的优势进入，但再次出现了方向的变化，阿尔卡拉兹获得了胜利并以6比4取得了胜利。这场比赛的数据集中有一组数据，其“match_id”为“2023-wimbledon-1701”。你可以在数据集中查看德约科维奇在首盘占优时的所有得分点，当时“set_no”列的数字等于1。这场比赛令人难以置信的波动，有时是许多分数甚至是整个发球局的波动，在比赛的某些时刻似乎占据了优势，这通常被归因于“动量”。

关于动量的一种字典定义是“通过运动或一系列事件获得的力量或力量”。在体育比赛中，一个团队或玩家可能会感到他们有动量，或者是“势头力量”，但这很难在比赛/游戏中衡量。更进一步，如果存在动量，很难看出比赛中的各种事件是如何创造或改变动量的。

题目

附件提供了2023年温布尔登网球锦标赛男子单打前两轮每一分的数据。
你可以根据自己的判断，选择包含额外的球员信息或其他数据，但你必须完整地记录数据来源。
使用这些数据来：

问题

问题一：模型

开发一个模型，捕捉比赛中得分发生时的比赛流程，并将其应用到一场或多场比赛中。
你的模型应该识别哪位球员在比赛中的某个时刻表现更好，以及他们表现得有多好。提供一个基于你的模型来描绘比赛流程的可视化图表。
注意：在网球中，发球的球员赢得比赛的概率要高得多。你或许希望以某种方式将这一因素纳入你的模型中。

问题二：评估

一位网球教练对“势头”在比赛中发挥任何作用持怀疑态度。相反，他认为，一位球员比赛中的表现波动和连胜都是随机的。使用你的模型/指标来评估这一说法。

问题三：预测

教练们非常想知道是否有指标可以帮助确定比赛流程何时会从有利于一位球员变为有利于另一位球员。
3.1 使用至少一场比赛提供的数据，开发一个模型来预测这些比赛中的波动。有哪些因素似乎最相关（如果有的话）？
3.2 鉴于过去比赛中“势头”的波动差异，你如何建议一位球员进入针对不同球员的新比赛？

问题四：推广

在其他比赛中测试你开发的模型。你的模型预测比赛中的波动效果如何？如果模型有时表现不佳，你能识别出未来模型可能需要包含哪些因素吗？如何普遍化你的模型，使其能够用于未来的比赛（例如女子比赛）、不同的赛场表面以及其他体育项目，如乒乓球？

产生一份不超过25页的报告，概述你的发现，并包括一份至两页的备忘录，总结你的结果并提供建议，关于“势头”是什么，以及如何准备球员应对网球比赛中的势头变化。

2024美赛D题：五大湖水问题

背景

国际联合委员会（IJC）请求贵公司，国际网络控制建模公司（ICM），提供支持，协助管理和控制机制（附录中指示的两个大坝 - 补偿工程和摩西-桑德斯大坝），这些机制直接影响了五大湖流网络中的水位。您的ICM主管已授权您的团队负责开发模型和管理计划，以实施该模型。

您的主管指出，有几个考虑因素可能有助于实现这一目标，首先是建立五大湖的网络模型，以及从苏必利尔湖到大西洋的连接河流的模型。您的主管还提到了一些其他可选的考虑因素或问题，包括：

在一年的任何时候确定五大湖的最佳水位，考虑各利益相关者的愿望（对于每个利益相关者来说，成本和效益可能是不同的）。

任务

建立算法，根据湖泊的流入和流出数据来维持五大湖的最佳水位。
了解您的控制算法对两个控制大坝的流出的敏感性。根据2017年的数据，您的新控制是否会导致对于各利益相关者来说满意或更好于当年实际记录的水位？
您的算法对环境条件的变化（例如降水、冬季积雪、冰堵）有多敏感？

将您的广泛分析仅集中在影响安大略湖的利益相关者和因素上，因为最近对该湖的水位管理产生了更多关切。

IJC还对您使用的历史数据以支持您的模型和建立参数感兴趣，因为他们希望比较您的管理和控制策略与以前的模型的差异。请向IJC领导层提交一份一页的备忘录，以传达您的模型的关键特点，以说服他们选择您的模型。

2024美赛E题：房产保险的可持续性

背景

极端天气事件正在成为房产拥有者和保险公司的一场危机。世界已经承受了超过“在近年来超过1,000次极端天气事件造成的超过1万亿美元的损失”。保险业在2022年因自然灾害案件的索赔量增加了“115%”，与30年平均水平相比。情况预计会变得更糟，因为从严重天气相关事件中的损失预计会因洪水、飓风、气旋、干旱和野火的增加而增加。保险覆盖的保费正在迅速上涨，而且随着气候变化预计到2040年增长30-60%。

房产保险不仅变得越来越贵，而且也越来越难找，因为保险公司改变了它们愿意承保的政策的方式和地点。与天气有关的发生正在推动世界各地不同地方房产保险保费的上涨。此外，保险保障缺口在全球平均达到57%，而且还在增加。这突出了行业的困境 - 保险公司的盈利能力危机和房产拥有者的可负担性危机。

COMAP的保险灾难模型师（ICM）对房产保险的可持续性感兴趣。随着气候变化增加了更多严重天气事件的可能性，ICM想要确定如何最佳地构建房产保险，使系统在灾难中具有韧性，同时确保未来索赔的长期财务健康，以及保险公司的可持续性。如果保险公司在太多情况下不愿意承保政策，他们将支付过多的索赔。在什么条件下保险公司应该承保政策？什么时候应该承担风险？什么是促使保险公司承保政策的决定因素？开发一个模型，用于决定保险公司是否应该在不同大陆上经历极端天气事件的地区承保政策。

我们看未来，社区和房产开发商需要重新思考他们如何建造房屋和城市。随着风险的增长，保险公司和房产开发商需要在建造和维护房产时更具前瞻性，包括确保房产更具有韧性和故意建造，包括可能的天气模式在内。但是，你的模型如何适应这种变化？如何确保保险公司能够开发出适应不同地区特定条件的保险产品？如何确保社区和人口稠密区能够管理不利的天气模式，以及在一定的地点是否应该限制或禁止建造？

任务

可能存在一些社区，您的保险模型建议不承保当前或未来的房产保险单。这可能导致社区领导者在具有文化或社区重要性的财产上作出艰难的决策。例如，为了保护这座历史灯塔及其周边以旅游业为中心的本地经济，开普哈特拉斯灯塔已经在北卡罗来纳州的外滩搬迁。作为一名社区领袖，您如何识别出社区中应该保护和保留的因其文化、历史、经济或社区重要性而应该保护和保留的建筑？

开发一个保存模型供社区领导者使用，以确定他们应该采取什么措施来保护他们社区中的建筑。

选择一个历史地标——不是开普哈特拉斯灯塔——位于一个经历极端天气事件的地点。应用您的保险和您的保存模型来评估这一地标的价值。为社区撰写一页信函，建议一个计划、时间表和成本提案，为他们珍贵的地标的未来考虑您从保险和保存模型的结果中获得的洞察。

2024美赛F题：减少非法野生动物贸易

背景

非法野生动物贸易对我们的环境造成负面影响，威胁全球生物多样性。据估计，非法野生动物贸易每年涉及高达265亿美元，并被认为是全球非法贸易的第四大形式。你需要开发一个基于数据的5年项目，旨在显著减少非法野生动物贸易。你的目标是说服一个客户执行你的项目。为此，你必须选择一个客户和一个适合该客户的项目。

任务

你的工作应该探索以下子问题：

你的客户是谁？他们能够做些什么？（换句话说，你的客户应该具备执行你提出的项目所需的权力、资源和兴趣。）

解释你开发的项目为什么适合这个客户。有哪些来自已发表的文献和你自己的分析的研究支持你提出的项目的选择？使用基于数据的分析，你将如何说服你的客户这是一个他们应该执行的项目？
你的客户需要哪些额外的权力和资源来执行这个项目？（记住要使用假设，但也要尽可能地基于现实。）

如果执行这个项目会发生什么？换句话说，对非法野生动物贸易的可衡量的影响是什么？你是如何进行分析来确定这一点的？

这个项目达到预期目标的可能性有多大？另外，基于一个具有情境意义的敏感性分析，是否存在一些可能对项目达到目标的能力产生不成比例的帮助或损害的条件或事件？
虽然你可以将你的方法限制在非法野生动物贸易上，但你也可以将非法野生动物贸易视为一个更大的复杂系统的一部分。具体来说，你可以考虑其他领域的其他全球努力，例如，遏制其他形式的贩运或减少气候变化的努力，与遏制非法野生动物贸易的努力相结合，可能是一个复杂系统的一部分。这可能为这个领域的意想不到的行为者创造协同的机会。
如果你选择在你的解决方案中利用一个复杂性框架，一定要通过讨论这种建模决策的利弊来证明你的选择。