2024  MCM 问题A: 资源 用性和性 （完整版见文末）

题目翻译：

虽然有些动物物种存在于通常的雌雄两性之外，但大多数物种基本上是雌性或雄性。尽管许  多物种在出生时呈现1:1的性别比，但其他物种则偏离了均等的性别比。这被称为适应性性别 比变异。例如，美国短吻鳄的巢穴温度影响了孵化的性别比。七鳃鳗的作用是复杂的。在一 些湖泊生境中，它们被视为对生态系统有重大影响的寄生虫，而七鳃鳗在世界的一些地区，

如斯堪的纳维亚、波罗的海和北美太平洋西北部的一些原住民，也是食物来源。

海洋七鳃鳗的性别比可以根据外部环境而变化。海洋七鳃鳗在幼虫阶段的生长速度决定了它 们成为雌性或雄性。这些幼虫的生长速度受到食物可用性的影响。在食物可用性低的环境   中，生长速度会降低，雄性的比例可以达到约78%。在食物更容易获得的环境中，雄性的比 例已经观察到约为56%。

我们关注性别比及其依赖于局部条件的问题，特别是对于海洋七鳃鳗。海洋七鳃鳗生活在湖 泊或海洋生境中，并向上游迁移来产卵。任务是检验一个物种根据资源可用性改变其性别比 的优缺点。

你们的团队应该开发和检验一个模型，以提供对生态系统中产生的相互作用的洞察。  需要检

验的问题包括以下内容：

当七鳃鳗的种群可以改变其性别比时，对更大的生态系统有什么影响?

对七鳃鳗的种群有什么优点和缺点?

在七鳃鳗的性别比发生变化的情况下，生态系统的稳定性有什么影响?

具有可变性别比的七鳃鳗种群的生态系统能否为生态系统中的其他物种，如寄生虫，提供优

势?

术语表：

·七鳃鳗：七鳃鳗是无颌鱼的一个古老谱系，属于七鳃鳗目。成年七鳃鳗的特征是有牙 的，漏斗状的吸盘口。七鳃鳗主要生活在沿海和淡水中，分布在大多数温带地区。

问题重述：

题目背景：

本题目关注的是动物的性比例变化，特别是海兰蒂的性比例变化，它们可以根据幼虫期的生 长速率和食物可用性来决定成为雄性或雌性。海兰蒂是一种古老的无颌鱼类，它们生活在湖 泊或海洋中，会上溯河流产卵。

题目目的：本题目的目的是探究动物能够根据资源可用性改变性比例的优缺点，以及对生态 系统的影响。你的团队应该建立并分析一个模型，以提供对生态系统相互作用的洞察。

题目问题：

本题目要求你考察以下几个问题：

当海兰蒂的种群可以改变其性比例时，对更大的生态系统有什么影响?

对海兰蒂的种群有什么优缺点?

在海兰蒂的性比例发生变化的情况下，生态系统的稳定性有什么影响?

一个具有可变性比例的海兰蒂种群的生态系统是否能为其他生态系统中的生物，如寄生虫， 提供优势?

重点内容分析与考点

性别比率的适应性变化：研究海灯笼鱼性别比率如何根据资源可用性改变。

生态系统相互作用：探讨性别比率变化对生态系统内部相互作用(如捕食关系、竞争、种群 动态)的影响。

模型开发：开发一个模型来模拟和分析性别比率变化对生态系统的影响。

问题分析：

整体分析：这个题目是一个典型的生态系统建模问题，涉及到动物种群的性比例变化、资源 可用性、环境因素、生态系统相互作用等多个方面。这个题目的难点在于如何建立一个合理 的数学模型，能够描述海兰蒂的性比例变化的机制和规律，以及其对生态系统的影响。这个 题目的重点在于如何利用已有的数据和文献，进行参数估计、模型验证、灵敏度分析、模拟 实验等，以回答题目提出的四个问题。

可能的数学模型：针对这个题目，我认为可以考虑以下几种可能的数学模型：

微分方程模型：这是一种常用的动态模型，可以用来描述海兰蒂种群的数量变化、性比例变 化、资源消耗等。微分方程模型可以分为确定性的和随机的，也可以分为常微分方程和偏微 分方程。确定性的微分方程模型假设系统的状态是完全可知的，而随机的微分方程模型则考 虑了系统的不确定性和随机性。常微分方程模型假设系统的状态只与时间有关，而偏微分方 程模型则考虑了系统的空间分布。例如，可以使用一个随机的偏微分方程模型，来描述海兰 蒂种群的数量和性比例在时间和空间上的变化，以及受到食物可用性、温度、寄生虫等环境 因素的影响。

元胞自动机模型：这是一种基于规则的离散动态模型，可以用来描述海兰蒂种群的个体行为 和群体行为。元胞自动机模型由一组元胞组成，每个元胞有一个状态，可以表示海兰蒂的性 别、年龄、位置等。元胞的状态根据一组局部的规则在每个时间步更新，这些规则可以表示 海兰蒂的生长、繁殖、迁移、竞争、捕食等行为。例如，可以使用一个元胞自动机模型，来 模拟海兰蒂种群的性比例变化的过程，以及其与其他物种的相互作用。

系统动力学模型：这是一种基于反馈的连续动态模型，可以用来描述海兰蒂种群的结构和功 能。系统动力学模型由一组变量和方程组成，变量可以表示海兰蒂种群的数量、性比例、资

源消耗等，方程可以表示变量之间的因果关系和反馈机制。系统动力学模型可以用来分析海 兰蒂种群的动态行为，如平衡点、稳定性、周期性、混沌等。例如，可以使用一个系统动力 学模型，来分析海兰蒂种群的性比例变化的影响因素和结果，以及其对生态系统的稳定性的 影响。

这个数学建模问题涉及到性别比率的适应性变化，特别是在海洋七鳃鳗(海灯笼鱼)中，其 性别比例依赖于局部条件，例如资源的可用性。问题的核心是研究物种根据资源可用性改变 性别比率的能力对生态系统中的相互作用产生的优劣影响。

数学模型与公式

为了分析这一问题，可以考虑使用种群动态模型，特别是结合性别比率对资源可用性的依赖  性。一个可能的模型是基于Lotka-Volterra方程进行修改，以包括性别比和资源量作为变量。

系统动态模型代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot  as plt
from scipy.integrate  import odeint

#定义性别比率和资源动态的模型方程
def   model (y,t,params):
R,A  = y
gamma,A_threshold,r_A,K_A =params
dRdt =gamma *(A -A_threshold)
dAdt=r_A*A*(1-A/K_A)-R*A
return [dRdt,dAdt]

#初始条件
R0  = 0.56     # 初始性别比率
A0 = 1000   # 初始资源量
params     =[0.01 , 800 , 0.02 , 2000 ]  # 参数： gamma,A_threshold,r_A,K_A
yO      =[RO,Aθ]

# 时 间 点
t        =np.linspace(0,100,1000)

#解微分方程
solution     =odeint(model,yo,t,args=(params,))

#绘制结果
plt.figure(figsize=(    10, 5))

plt.plot(t,solution[:,θ],label=   plt.plot(t,solution[:,1],label= plt.xlabel('Time')
plt.ylabel(  'Value' )


'Sex Ratio $R_t$')
'Resource $A_ts')

plt.title(    'Dynamics of Sex Ratio and Resource Availability')
plt.legend()
plt.show()