【数据结构 07】AVL树

news2024/10/6 20:41:27

目录

一、二叉搜索树

二、AVL树

2.1 左单旋

2.2 右单旋

2.3 左右双旋

2.4 右左双旋

三、AVL.h

四、test.cpp

一、二叉搜索树

二叉搜索树，又称二叉排序树（Binary Search Tree），相比于普通二叉树，BST的特性有：

  1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树通常在数据插入的时候便会将数据正确排序（不允许插入重复值），这样在进行数据查询的时候，一般情况下时间复杂度是O(\log_2 n)，但是如果插入的数据为一个有序或接进有序的序列，即退化成了单支树，这时时间复杂度退化到O(n)。

二、AVL树

AVL树也叫平衡二叉搜索树，是二叉搜索树的进化版，设计是原理是弥补二叉搜索树的缺陷：当插入的数据接近于有序数列时，二叉搜索树的性能严重下降。

AVL的节点设计采用三叉链结构(每个节点包含left, right, parent三个节点指针)，每个节点中都有平衡因子bf。

AVL树在BST的基础上引入了一个平衡因子bf用于表示左右子树的高度差，并控制其不超过1，若在数据插入时左右子树的高度差超过1了，AVL树会寻找新的节点作为根节点进行调整树的结构，这样AVL树进行数据查询的时间复杂度就稳定在了O(\log_2 n)。

AVL的特点是左子树和右子树高度差 < 2，平衡因子bf就是右子树高度 - 左子树高度的差，当bf等于2或-2时，AVL将根据不同情况进行旋转调节，使其始终保持AVL树的特性。

对于一棵AVL树，若它的节点数为n，则它的深度为\log_2 n。

2.1 左单旋

若数列 1,2,3 按顺序插入AVL树，则树的结构为图1：

图1 数列{1,2,3}插入AVL树

图1 中，parent节点的平衡因子bf为2，新节点向上调节时的cur节点的平衡因子为1，这种情况需要左单旋：cur节点的左子树（空）变成parent节点的右子树，parent节点变成cur节点的左子树。

图2 左单旋后的节点

2.2 右单旋

右单旋与左单旋类似，也是根据平衡因子情况进行旋转调整。

图1 向AVL树中插入新节点1

图1 新节点1插入，向上调整平衡因子，出现parent->bf == -2, cur->bf == -1，此时需要右单旋：cur节点的右子树变为parent节点的左子树，parent变成cur节点的右子树。

图2 右单旋结果

2.3 左右双旋

左右双旋在设计上可以调用左单旋和右单旋函数，但是需要不同情况讨论旋转后的平衡因子。

图1 新插入节点0

图1 新插入节点0后，parent->bf == -2, cur->bf == 1，此时需要左右双旋，即先以节点-1为父节点进行一次左单旋，再以1为父节点进行一次左单旋：节点0的左子树（空）变成节点-1的左子树，节点-1变成节点0的左子树。

图2 以节点-1位父节点左单旋结果

图2 完成左单旋之后再以1位父节点进行一次右单旋：节点0的右子树（空）变成节点1的左子树，节点1变成节点0的右子树。

图3 完成右单旋，同时完成左右双旋

2.4 右左双旋

图1 插入新节点65

图1 中红色数字就是每个节点平衡因子，值为65的节点是新插入的节点，当其插入之后，所有节点的平衡因子更新，出现了parent平衡因子为2，cur平衡因子为1，此时需要进行旋转调节。

图2 观察平衡因子

图2 观察平衡因子，决定旋转策略为右左双旋，即先进行一次右单旋，再进行一次左单旋。右单旋是以节点80为父节点进行，即节点60的右子树变成节点80的左子树，节点80变成节点60的右子树。

图3 右单旋结果

图3 右单旋结束，接下来再一次进行以节点40为父节点的左单旋，即节点60的左子树变成节点40的右子树，节点40变成节点60的左子树。

图4 右左双旋旋转最终结果

三、AVL.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#pragma once
#include <iostream>

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	std::pair<K, V> kv;
	AVLTreeNode* parent;
	AVLTreeNode* left;
	AVLTreeNode* right;
	int bf;

	AVLTreeNode(const std::pair<K, V> x)
		: kv(x), parent(nullptr), left(nullptr), right(nullptr), bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const std::pair<K, V>& x)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(x);
			return true;
		}

		// 通过二叉搜索树找到需要插入节点的位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			if (cur->kv.first < x.first)
				cur = cur->right;
			else if (cur->kv.first > x.first)
				cur = cur->left;
			else
				return false;
		}

		cur = new Node(x);
		cur->parent = parent;
		if (parent->kv.first > x.first)
			parent->left = cur;
		else
			parent->right = cur;

		// 更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->left == cur)
				--parent->bf;
			else
				++parent->bf;

			if (parent->bf == 0)
			{
				return true;
			}
			else if (parent->bf == 1 || parent->bf == -1)
			{
				// 继续向上更新
				cur = parent;
				parent = parent->parent;
			}
			else if (parent->bf == 2 || parent->bf == -2)
			{
				if (parent->bf == 2 && cur->bf == 1)
					_RotateLeft(parent);
				else if (parent->bf == -2 && cur->bf == -1)
					_RotateRight(parent);
				else if (parent->bf == -2 && cur->bf == 1)
					_RotateLeftRight(parent);
				else if (parent->bf == 2 && cur->bf == -1)
					_RotateRightLeft(parent);

				break;
			}
		}
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		std::cout << std::endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

private:
	void _RotateLeft(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->right;
		Node* subRL = subR->left;

		parent->right = subRL;
		if (subRL != nullptr)
			subRL->parent = parent;

		subR->left = parent;
		Node* ppNode = parent->parent;
		parent->parent = subR;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->left == parent)
				ppNode->left = subR;
			else
				ppNode->right = subR;
			subR->parent = ppNode;
		}

		parent->bf = subR->bf = 0;
	}

	void _RotateRight(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->left;
		Node* subLR = subL->right;

		parent->left = subLR;
		if (subLR != nullptr)
			subLR->parent = parent;

		subL->right = parent;
		Node* ppNode = parent->parent;
		parent->parent = subL;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->left == parent)
				ppNode->left = subL;
			else
				ppNode->right = subL;
			subL->parent = ppNode;
		}

		parent->bf = subL->bf = 0;
	}

	void _RotateLeftRight(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->left;
		Node* subLR = subL->right;
		int bf = subLR->bf;

		_RotateLeft(subL);
		_RotateRight(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subLR->bf = 0;
			subL->bf = 0;
			parent->bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subLR->bf = 0;
			subL->bf = 0;
			parent->bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->bf = 0;
			subL->bf = -1;
			parent->bf = 0;
		}
	}

	void _RotateRightLeft(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->right;
		Node* subRL = subR->left;
		int bf = subRL->bf;

		_RotateRight(subR);
		_RotateLeft(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subRL->bf = 0;
			subR->bf = 0;
			parent->bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->bf = 0;
			subR->bf = 1;
			parent->bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->bf = 0;
			subR->bf = 0;
			parent->bf = -1;
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->left);
		std::cout << "<" << root->kv.first << "," << root->kv.second << ">" << " ";
		_InOrder(root->right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->left);
		int rightHeight = _Height(root->right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = _Height(root->left);
		int rightHeight = _Height(root->right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->bf)
		{
			std::cout << "平衡因子异常" << std::endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->left)
			&& _IsBalance(root->right);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

四、test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include "AVL.h"

void Test1()
{
	int a[] = { 2, 4, 5, 8, 10, 1, 3, 5, 7, 9, 100, 200, -100, 0 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(std::make_pair(e, e * 2));
	}
	t.InOrder();

	std::cout << t.IsBalance() << std::endl << std::endl;
}

void Test2()
{
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(std::make_pair(e, e * 2));
	}
	t.InOrder();

	std::cout << t.IsBalance() << std::endl << std::endl;
}

void Test3()
{
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(std::make_pair(e, e * 2));
	}
	t.InOrder();

	std::cout << t.IsBalance() << std::endl << std::endl;
}

int main()
{
	Test1();
	Test2();
	Test3();

	return 0;
}

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