前缀和：以O(1)的时间求解一段区间的和，空间复杂度O(n)

一维前缀和

795. 前缀和 - AcWing题库

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N],s[N];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    memset(s,0,sizeof(s));
    for(int i=1;i<=n;i++){ 
        s[i]=s[i-1]+a[i];//注意从1开始
    }
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);//注意l-1
    }
    return 0;
}

二维前缀和

796. 子矩阵的和 - AcWing题库

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main(){
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    memset(s,0,sizeof(s));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            s[i][j] = a[i][j] + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];//注意前缀和求法，要减去左上角重复的矩形
        }
    }
    while(q--){
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]);//计算子矩阵公式
    }
    return 0;
}