本文为Python算法题集之一的代码示例

题目53：最大子数组和

说明：给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

• 1 <= nums.length <= 105

• -104 <= nums[i] <= 104

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- 问题分析

1. 本题为求数组中的子数组的最大和
2. 主要的计算为2个，1子数组遍历，2子数组求和
3. 基本的遍历为双层循环，双层循环遍历子数组，每个子数组求和一次，所以基本的时间算法复杂度为（On2）

- 优化思路

1. 减少循环层次

2. 减少计算类别

3. 通过动态规划分析最优路径

   1. 前缀和之差（第1到第n的累加为前缀和，前缀和之间的差为两个元素之间子数组的和）
   2. 递归思路，第n个元素为止的最大和，为之前的最大和max_n与包含元素n的子数组最大和【max(premax+元素n、元素n)】中最大者

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• CheckFuncPerf是我写的函数用时和内存占用模块，地址在这里：Python算法题集_检测函数用时和内存占用的模块【自搓】
• 测试的超时测试用例文件是官网的，已上传到CSDN，地址在这里：力扣算法题：最大子数组和测试用例，用于测试超时，数组长度21808（估计是2月1日过审)

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1. 标准求解，双层循环，超时失败

   import CheckFuncPerf as cfp
   
   def maxSubArray_base(nums):
       if len(nums) == 1:
           return nums[0]
       imaxsum, ileftsum = nums[0], nums[0]
       for iIdx in range(len(nums)-1):
           ileftsum += nums[iIdx]
           irightsum = 0
           for jIdx in range(iIdx+1, len(nums)):
               irightsum += nums[jIdx]
               if ileftsum > 0:
                   if ileftsum+irightsum > imaxsum:
                       imaxsum = ileftsum+irightsum
               else:
                   if irightsum > imaxsum:
                       imaxsum = irightsum
       return imaxsum
   
   testcase_big = open(r'testcase/hot13_big.txt', mode='r', encoding='utf-8').read().replace('[', '').replace(']', '')
   testcase_big = testcase_big.split(',')
   nums = [int(x) for x in testcase_big]
   result = cfp.getTimeMemoryStr(maxSubArray_base, nums)
   print(result['msg'], '执行结果 = {}'.format(result['result']))
   
   # 运行结果
   函数 maxSubArray_base 的运行时间为 19834.08 ms；内存使用量为 4.00 KB 执行结果 = 1364833
   

2. 优化版一【采用前缀和】，虽有想法，超时依旧

   import CheckFuncPerf as cfp
   
   def maxSubArray_ext1(nums):
       if len(nums) == 1:
           return nums[0]
       presum = [0] * len(nums)
       isum, imaxsum = 0, nums[0]
       for iIdx in range(len(nums)):
           isum += nums[iIdx]
           presum[iIdx] = isum
       for iIdx in range(len(nums)-1):
           for jIdx in range(iIdx+1, len(nums)):
               imaxsum = max(imaxsum, presum[iIdx], presum[jIdx], presum[jIdx]-presum[iIdx])
       return imaxsum
   
   testcase_big = open(r'testcase/hot13_big.txt', mode='r', encoding='utf-8').read().replace('[', '').replace(']', '')
   testcase_big = testcase_big.split(',')
   nums = [int(x) for x in testcase_big]
   result = cfp.getTimeMemoryStr(maxSubArray_ext1, nums)
   print(result['msg'], '执行结果 = {}'.format(result['result']))
   
   # 运行结果
   函数 maxSubArray_ext1 的运行时间为 15518.62 ms；内存使用量为 144.00 KB 执行结果 = 1364833
   

3. 优化版二【滑动窗口，单层循环】，勉强通过，超过27%

   import CheckFuncPerf as cfp
   
   def maxSubArray_ext2(nums):
       if len(nums) == 1:
           return nums[0]
       presum = [0] * len(nums)
       isum, imaxsum, iminsum = 0, nums[0], nums[0]
       for iIdx in range(len(nums)):
           isum += nums[iIdx]
           presum[iIdx] = isum
           if iIdx > 0:
               imaxsum = max(imaxsum, isum, isum - iminsum)
           iminsum = min(isum, iminsum)
       return imaxsum
   
   testcase_big = open(r'testcase/hot13_big.txt', mode='r', encoding='utf-8').read().replace('[', '').replace(']', '')
   testcase_big = testcase_big.split(',')
   nums = [int(x) for x in testcase_big]
   result = cfp.getTimeMemoryStr(maxSubArray_ext2, nums)
   print(result['msg'], '执行结果 = {}'.format(result['result']))
   
   # 运行结果
   函数 maxSubArray_ext2 的运行时间为 6.99 ms；内存使用量为 296.00 KB 执行结果 = 1364833
   

4. 优化版三【动态规划，递归思路求解】，马马虎虎，超过60%

   import CheckFuncPerf as cfp
   
   def maxSubArray_ext3(nums):
       imaxpre, imaxsum = 0, nums[0]
       for iIdx in range(len(nums)):
           imaxpre = max(nums[iIdx], nums[iIdx] + imaxpre)
           imaxsum = max(imaxsum, imaxpre)
       return imaxsum
   
   testcase_big = open(r'testcase/hot13_big.txt', mode='r', encoding='utf-8').read().replace('[', '').replace(']', '')
   testcase_big = testcase_big.split(',')
   nums = [int(x) for x in testcase_big]
   result = cfp.getTimeMemoryStr(maxSubArray_ext3, nums)
   print(result['msg'], '执行结果 = {}'.format(result['result']))
   
   # 运行结果
   函数 maxSubArray_ext3 的运行时间为 5.99 ms；内存使用量为 4.00 KB 执行结果 = 1364833
   

5. 优化版四【分支改良】，有所改善，超越83%

   在优化版四的基础上，进行流程分支改良，去掉了一批加法计算

   import CheckFuncPerf as cfp
   
   def maxSubArray_ext4(nums):
       imaxpre, imaxsum = 0, nums[0]
       for iIdx in range(len(nums)):
           if imaxpre > 0:
               imaxpre = nums[iIdx] + imaxpre
           else:
               imaxpre = nums[iIdx]
           imaxsum = max(imaxsum, imaxpre)
       return imaxsum
   
   testcase_big = open(r'testcase/hot13_big.txt', mode='r', encoding='utf-8').read().replace('[', '').replace(']', '')
   testcase_big = testcase_big.split(',')
   nums = [int(x) for x in testcase_big]
   result = cfp.getTimeMemoryStr(maxSubArray_ext4, nums)
   print(result['msg'], '执行结果 = {}'.format(result['result']))
   
   # 运行结果
   函数 maxSubArray_ext4 的运行时间为 4.02 ms；内存使用量为 0.00 KB 执行结果 = 1364833
   

   一日练，一日功，一日不练十日空

   may the odds be ever in your favor ~