【Java 数据结构】二叉树

二叉树

1. 树型结构（了解）
- 1.1 概念
- 1.2 概念（重要）
- 1.3 树的表示形式（了解）
- 1.4 树的应用
2. 二叉树（重点）
- 2.1 概念
- 2.2 两种特殊的二叉树
- 2.3 二叉树的性质
- 2.4 二叉树的存储
- 2.5 二叉树的基本操作
- - 2.5.1 前置说明
  - 2.5.2 二叉树的遍历
  - 2.5.3 二叉树的基本操作

1. 树型结构（了解）

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m)
又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 概念（重要）

在这里插入图片描述
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

在这里插入图片描述

1.4 树的应用

在这里插入图片描述

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2（n+1）上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下个博客介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{
	public static class BTNode{
		BTNode left;
		BTNode right;
		int value;
		BTNode(int value){
		this.value = value;
		}
	}
	private BTNode root;
	
	public void createBinaryTree(){
		BTNode node1 = new BTNode(1);
		BTNode node2 = new BTNode(2);
		BTNode node3 = new BTNode(3);
		BTNode node4 = new BTNode(4);
		BTNode node5 = new BTNode(5);
		BTNode node6 = new BTNode(6);
		root = node1;
		node1.left = node2;
		node2.left = node3;
		node1.right = node4;
		node4.left = node5;
		node5.right = node6;
	}
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

空树
非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的

2.5.2 二叉树的遍历

前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

// 前序遍历
    void preOrder(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
     // 中序遍历  -》 左根右
    void inOrder(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }
    // 后序遍历  -》 左右根
    void postOrder(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，同学们可自己动手绘制。在这里插入图片描述

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
2. 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

2.5.3 二叉树的基本操作

获取树中节点的个数

public int nodeSize;
    // 获取树中节点的个数
    int size(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        nodeSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
        return nodeSize;
    }

获取叶子节点的个数

public int leafSize;
    // 获取叶子节点的个数
    int getLeafNodeCount1(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        getLeafNodeCount1(root.left);
        getLeafNodeCount1(root.right);
        return leafSize;
    }

获取第K层节点的个数

 // 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +
                getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

获取二叉树的高度

// 获取二叉树的高度 时间复杂度O(N)
    int getHeight(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);

        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:
                rightHeight+1;
    }

检测值为value的元素是否存在

TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if(root == null) {
            return null;
        }

        if(root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode ret1 = find(root.left,val);
        if(ret1 != null) {
            return ret1;//不去右边了
        }

        TreeNode ret2 = find(root.right,val);
        if(ret2 != null) {
            return ret2;
        }

        return null;
    }

层序遍历

void levelOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val+" ");

            if(cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

判断一棵树是不是完全二叉树

boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            if(cur != null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else {
                break;//结束这个循环
            }
        }
        //需要判断队列当中 是否有非空的元素
        while (!queue.isEmpty()) {
            //一个元素 一个元素 出队来判断 是不是空
            TreeNode tmp = queue.peek();
            if(tmp == null) {
                queue.poll();
            }else {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }