伊恩·斯图尔特《改变世界的17个方程》相对论笔记

它告诉我们什么？

物质包含的能量等于其质量乘以光速的平方。

为什么重要？

光的速度很快，它的平方绝对是一个巨大的数。1千克的物质释放出的能量相当于史上最大的核武器爆炸所释放能量的约40%。一系列相关的方程改变了我们对空间、时间、物质和引力的看法。

它带来了什么？

当然有全新物理学。核武器……好吧，也许吧——但不像坊间传闻中那样直截了当或言之凿凿。黑洞、大爆炸、GPS和卫星导航。

什么是相对论

爱因斯坦将他的理论称为“相对论”，是因为它修正了传统上牛顿力学使用的相对运动的规则，这个规则说运动确实是相对的，取决于观察它的参照系，非常简单直观。

爱因斯坦不得不调整牛顿的相对论，才能理解一个令人困惑的实验发现：有一个特定的物理现象根本不是相对的，而是绝对的。由此，他得出了一种新的物理学：当物体运动得非常快时，物体会收缩，时间减慢到仿佛蜗牛爬行，而质量可以无限增加。结合对引力的拓展，我们对宇宙的起源和宇宙的结构有了迄今最好的理解。它基于空间和时间可以弯曲的想法。

……

“相对论”涵盖了两个截然不同但相关的理论：狭义相对论和广义相对论。我会用爱因斯坦的著名方程作为谈论两者的借口。狭义相对论是关于在没有引力的情况下的空间、时间和物质，广义相对论则考虑了引力。这两个理论都属于同一个大框架，但爱因斯坦辛苦工作了十年，才发现了如何修改狭义相对论来引入引力。牛顿物理学不能符合观测的难题使这两种理论都受到了启发，但这一标志性的方程出现在狭义相对论中。

在牛顿时代，物理学似乎相当简明、直观。空间是空间，时间是时间，泾渭分明。空间的几何是欧几里得几何。时间与空间无关，对于所有观察者来说都是一样的——只要他们的时钟同步。物体的质量和大小在运动时没有变化，时间在各处总是以相同的速度流逝。但是当爱因斯坦完成了物理学的重构之后，所有这些说法（非常直观，以至于很难想象它们中的任何一个都不能代表现实）都被证明是错误的。

当然，它们并非完全错误。如果真的是无稽之谈，那么牛顿的工作根本不会成功。牛顿对物理宇宙的描绘是一种近似，而不是精确的描述。只要所涉及的一切都在缓慢运动（在大多数日常情况下如此），这种近似就是非常准确的。在这个意义上，即使是以两倍于声速飞行的喷气式战斗机也是缓慢运动的。但是，日常生活中确实有一个东西运动得非常快，并为所有其他速度设定了标准：光。

电磁波

牛顿和他的后继者已经证明了光是一种波，麦克斯韦方程组确证了这一点。但光作为波的性质引发了一个新问题。海浪是水中的波，声波是空气中的波，地震是地球中的波。所以光波是…… 什么中的波？

在数学上，光是电磁场中的波，而我们认为电磁场遍布整个空间。当电磁场被激发，也就是被迫产生电和磁时，我们就观察到了波。但是当电磁场没有被激发时会发生什么？没有波，海洋仍然是海洋，空气仍然是空气，地球仍然是地球。类似地，电磁场仍然是…… 电磁场。但如果没有电或磁，你就无法观察到电磁场。如果你观察不到它，它是什么？它是不是根本不存在？

除了电磁场之外，物理学中所有已知的波都是有形的波。所有三种类型的波——水、空气、地震——都是运动波。介质上下运动或左右摇晃，但通常不随波浪行进（将一根长绳系在墙上并甩动一端：波沿着绳子传播。但是绳子不会沿着绳子运动）。也有例外：当空气与波一起行进时，我们称之为“风”；当海浪撞到海滩上时，海浪会将水推到海滩上。但即使我们将海啸描述为移动的水墙，它也不会像在球场滚动的足球一样滚过海洋的顶部。大多数情况下，任何给定位置的水都是上下运动的。前进的其实是波峰的位置。直到水靠近岸边，你看到的东西才更像一堵移动的墙。

光通过以太传播

光和一般的电磁波似乎没有任何有形的波。在麦克斯韦的时代，以及之后五十年或更长的时间里，这一点令人不安。牛顿的万有引力定律长期以来一直受到批评，因为它意味着引力以某种方式“超距作用”，这在哲学原则上看来是个奇迹，就像你坐在看台上，却将球踢进球门一样。说它由“引力场”传播，并没有真正解释发生了什么。电磁学也是如此。因此，物理学家们认为有一些媒介——没有人知道它们是什么，于是他们说，支持电磁波的是“发光的以太”，或者简称“以太”。介质越坚硬，振动传播得就越快，光速确实非常快，因此以太必须非常坚硬。然而，行星可以毫无阻力地穿过它。为避免被轻易探测到，以太必须没有质量，没有黏度，不可压缩，并且对所有形式的辐射都是完全透明的。

这一套性质的组合让人泄气，但几乎所有的物理学家都认为以太存在，因为光显然做了光做的那些事。总得有些什么来承载波。此外，原则上可以检测到以太的存在，因为光的另一个特征提示了一种观察它的方法。在真空中，光以固定的速度c运动。牛顿力学教会了每个物理学家去问：相对于什么的速度？如果你在两个相对运动的不同参照系中测量速度，则会得到不同的答案。光速的恒定有一个明显的解释：相对于以太。但这个答案有点儿轻率，因为两个参照系如果彼此之间有相对运动，就无法同时相对于以太静止。

当地球掠过以太时（奇迹般地没有阻力），它围绕着太阳运转。在轨道的相对点处，它朝着相反的方向运动。因此，按照牛顿力学，光速的变化范围应该在两个极端之间：c加上地球相对于以太运动的贡献，以及c减去这一贡献。测量光速，六个月后再测一次，求出差异。如果有差异，则证明以太存在。在19世纪后期，人们沿着这些方向进行了许多实验，但结果没有定论。要么没有差异，要么有差异，但实验方法不够准确。更糟糕的是，地球可能会拖着以太一起走。这将同时解释为什么地球可以在没有阻力的情况下穿过这样一个刚性介质，并且意味着你不应该看到光速的任何差异。地球相对于以太的运动总是不存在。

以太不存在

1887年，阿尔伯特·迈克耳孙(Albert Michelson)和爱德华·莫雷(Edward Morley)进行了有史以来最著名的物理实验之一。他们的设备被设计用于检测两个彼此垂直的方向上光速的极小变化。不管地球相对于以太如何运动，它无法在两个不同的方向上以相同的相对速度运动…… 除非碰巧沿着这两个方向的角平分线运动，真是这样的话，你只需稍稍旋转设备，再试一次。

这个设备（下图）小到足以放在实验室的桌子上。它使用半镀银镜将一束光分成两部分，一部分穿过镜子，另一部分反射后转一个直角。每个单独的光束都会沿其路径反射回来，两个光束再次组合击中探测器。调整设备，以使路径长度相同。原始光束被设置为相干光，意味着两个波彼此同步——所有波都具有相同的相位，波峰对波峰。两个光束各自方向上的光速之间的任何差异，都将导致相位相对移动，波峰将会错开。这会让两个波之间出现干涉，从而产生“干涉条纹”图案。地球相对于以太的运动会导致条纹移动。它的效果很小：根据已知地球相对于太阳的运动，干涉条纹将偏移条纹宽度的4%左右。利用多次反射，可以将其增加到40%，这样就可以检测到条纹了。为了避免地球恰好沿着两条光束的平分线运动的巧合情况，迈克耳孙和莫雷使设备漂浮在水银浴上，以便其轻松、快速地旋转。这样，就应该可以观察到条纹同样快速地移动。

这是一个精心完成的精确实验。其结果完全是否定的。条纹没有偏移其宽度的40%。所有人都可以肯定地说，条纹根本没有动。后来的实验能够检测到条纹宽度偏移0.07%，也给出了否定的结果。以太不存在。

这个结果不仅仅否定了以太，也威胁到麦克斯韦的电磁学理论。这意味着光不以牛顿的方式相对于运动参照系行事。这个问题可以追溯到麦克斯韦方程组的数学性质，以及它们如何相对于运动参照系进行变换。爱尔兰物理学家兼化学家乔治·菲茨杰拉德(George FitzGerald)和荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹(Hendrik Lorenz)各自独立（分别于1892年和1895年）提出了一个解决问题的大胆方法。如果一个运动的物体在其运动方向上稍微收缩（还要恰好适量），那么迈克耳孙–莫雷实验期待检测到的相位变化，将被光线所走过的路径的长度变化完全抵消。洛伦兹证明了，这种“洛伦兹–菲茨杰拉德收缩”也解决了麦克斯韦方程组面临的数学困难。这一联合发现表明，包括光在内的电磁学实验结果不依赖于参照系的相对运动。庞加莱也一直在沿着类似的思路工作，为这个想法加入了他令人信服的智慧。

狭义相对论

现在轮到爱因斯坦登场了。1905年，他在论文《论运动物体的电动力学》中发展并扩展了先前关于相对运动新理论的推测。他的工作在两个方面超越了前辈。他证明了需要对相对运动的数学公式做出必要的改变，这不仅仅是解决电磁学问题的一个技巧，而且是所有物理定律所必需的。因此，新的数学必须是对现实的真实描述，具有与通行的牛顿描述相同的哲学地位，却与实验吻合得更好。这是真正的物理学。

牛顿所采用的相对运动的观点甚至可以追溯到伽利略。在其1632年的《关于两个主要世界体系的对话》(Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo)中，伽利略讨论了一艘在一片完全平坦的海面上以恒定速度行进的船，并称在甲板下面进行的任何力学实验都无法发现船在运动。这是伽利略的相对性原理：在力学中，在两个相对于彼此匀速运动的参照系中进行的观察并无区别。特别是，没有一个“静止”的特殊参照系。爱因斯坦的出发点是相同的原则，但还加上了一个转折：它不仅适用于力学，而且适用于所有物理定律——其中当然包括麦克斯韦方程组和光速的恒定性。

对于爱因斯坦来说，迈克耳孙–莫雷实验只是一小部分额外的证据，却没有证明主要的问题。他的新理论成立的证明基于其扩展的相对性原理，以及这个原理对物理定律的数学结构的影响。如果你接受了这个原理，其他一切就是自然而然的了。这就是为什么这个理论被称为“相对论”——不是因为“一切都是相对的”，而是因为你必须考虑到这一切是以何种方式相对的。而这会出乎你的意料。

这个版本的爱因斯坦理论被称为“狭义相对论”，因为它仅适用于相对于彼此匀速运动的参照系。其结果包括洛伦兹–菲茨杰拉德收缩，现在人们把它解释为时空的一个必要性质。事实上，有三个相关的效应。如果一个参照系相对于另一个参照系匀速运动，那么在该参照系中测量的长度会沿着运动方向收缩，质量增加，并且时间流逝得更慢。这三种效应由能量和动量的基本守恒定律联系在一起；一旦你接受了其中一个，其他的就是合乎逻辑的结果。

这些效应的专业表达，就是描述两个参照系中的量度之间关系的公式。概括一下就是：如果物体可以接近光速运动，那么它的长度将变得非常小，时间会慢慢爬行，而质量会变得非常大。我在这里稍稍讲一些数学的东西：物理描述不应该理解得太字面化，而要用正确的语言表述它就得讲太多了。这一切都来自…… 毕达哥拉斯定理。科学中最古老的方程之一，带来了最新的方程之一。

宇宙飞船的例子

假设宇宙飞船从头顶上以速度v飞过，并且机组人员做了一个实验。它们从机舱地板向舱顶发出一个光脉冲，测量时间为T。与此同时，地面观察员通过望远镜观察实验（假设宇宙飞船是透明的），测量时间为t。

左图展示了从机组人员的视角看实验的几何关系。对他们来说，光是垂直向上的。因为光的速度为c，所以行进的距离就是cT，用虚线箭头表示。右图展示了从地面观察者的视角看实验的几何关系。宇宙飞船已运动了距离vt，因此光线沿斜线运动。由于光相对于地面观察者也以速度c行进，因此斜线的长度为ct。但虚线的长度与左图中虚线箭头的长度相同，即cT。根据毕达哥拉斯定理， $(ct)^2=(cT)^2+(vt)^2$ ，我们求解T，得到 $T=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ ，它小于t。为了得出洛伦兹–菲茨杰拉德收缩，我们现在想象宇宙飞船以速度v行进到距离地球x的行星。于是经过的时间是 $\frac{x}{v}$ 。但是之前的公式表明，对于机组人员来说，所用的时间是T而不是t，而距离X必须满足 $T=\frac{X}{v}$ 。因此 $X=x\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ ，它小于x。质量变化的推导稍微复杂一些，它取决于对质量的特定解释——“静质量” $m_{0}$ ，这里我就不详细说明了。公式是 $M=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ ，它大于m。

毕达哥拉斯也以某种形式在相对论中出现了。一个是赫尔曼·闵可夫斯基(Hermann Minkowski)最先以时空几何学表达的狭义相对论。我们可以这样在数学上表达普通牛顿空间：让空间中的点对应于三个坐标(x,y,z)，并使用毕达哥拉斯定理定义这一点与另一个点(X,Y,Z)之间的距离d： $d^2=(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2$ ，对该方程开平方就得到了d。闵可夫斯基时空也与此类似，但它有四个坐标(x,y,z,t)，三个空间坐标加上一个时间坐标，而其中的点称为“事件”——在特定时间观察到的空间位置。距离公式非常类似：

$d^2=(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2-c^2(t-T)^2$ ,系数 $c^2$ 只是测量时间的单位造成的，但前面的负号至关重要。“距离d称为“间隔”，只有当方程的右侧为正时，平方根才是实数。这归结为两个事件之间的空间距离要小于时间差异（分别以正确的单位，例如光年和年）。这反过来意味着，物体原则上可以在第一时刻从太空中的第一个点出发，并在第二时刻到达太空中的第二个点，而速度不会超过光速。

换句话说，原则上说，当且仅当在物理上可能在两个事件之间行进时，间隔才是实数。当且仅当光可以在两个事件之间传播时，间隔为零。这个物理上可以到达的区域被称为事件的光锥，它分为两部分：过去和未来。下图展示了空间约减到一维时的几何形状。

我已经给你看了三个相对论方程，并简述了它们是如何得出的，但它们都不是爱因斯坦的标志性方程。然而，如果我们再认识一项20世纪早期的物理学创新，就可以了解爱因斯坦的方程是怎么导出的了。我们已经看到，物理学家之前曾进行过实验，确切地证明了光是一种波，而麦克斯韦证明它是电磁波。然而，到了1905年，越来越清楚的一点是，尽管光的波动性有很强的证据，但在某些情况下，它的行为就像一个粒子。在那一年，爱因斯坦用这个想法来解释光电效应的一些特征，即用光照射合适的金属会产生电。他认为，要让实验说得通，光必须是一个个离散的小包裹，也就是粒子。这种粒子现在被称为光子。

这个令人费解的发现是通往量子力学的关键步骤之一，我将在第14章中详细说明。有意思的是，这种典型的量子力学思想对于爱因斯坦形成相对论至关重要。为了得出他的质能方程，爱因斯坦思考了发射一对光子的物体会发生什么。为了简化计算，他将注意力限制在一个空间维度上，以便让物体沿着直线运动。这种简化不会影响答案。基本思想是在两个不同的参照系中思考这个系统。一个参照系与物体一起运动，使物体在那个参照系中看起来是静止的。另一个参照系相对于物体以小的非零速度运动。我把它们分别称为静止参照系和运动参照系。它们就像宇宙飞船（在它自己的参照系中是静止的）和地面观察者（在他看来，飞船是运动的）。

爱因斯坦假定这两个光子具有同样的能量，但发射方向相反。它们的速度相等且相反，因此当发射光子时，物体的速度（在任一参照系中）都不会改变。他计算了物体发射这一对光子之前系统的能量，然后计算发射后的能量。通过假定能量必须守恒，他得出了一个表达式，将发射光子引起的物体能量变化与其（相对论）质量的变化联系起来。其结果是：能量变化=质量变化 $\times c^2$ ,合理地假设零质量物体具有零能量，即可得出能量=质量 $\times c^2$ ,这当然就是那个著名的公式，其中能量用E表示，质量用m表示。除了进行计算之外，爱因斯坦还得解释它的含义。特别是，他认为在物体静止的参照系下，公式给出的能量应该被认为是它的“内部”能量，因为物体是由亚原子粒子构成的，每个粒子都有它自己的能量。在运动的参照系中，还存在动能的贡献。还有数学上的其他微妙之处，例如使用小速度和精确公式的近似。

原子弹？

人们常常说，爱因斯坦意识到了原子弹会释放出巨大的能量。当然，《时代》杂志在1946年7月给人留下了这样的印象：当时爱因斯坦的脸上盖着原子弹的蘑菇云，背景是他的标志性方程。方程与巨大爆炸之间的联系似乎很清楚：方程告诉我们，任何物体固有的能量都是质量乘以光速的平方。由于光速很大，它的平方就更大，也就是少量物质中有大量能量。1克物质的能量为90兆焦耳，相当于核电站约一天的电力输出。

然而，事情并非如此。原子弹释放的能量只是相对论静质量的一小部分，而物理学家已经通过实验意识到某些核反应会释放出大量的能量。主要的技术问题是，将一堆合适的放射性物质放在一起足够长时间，以产生链式反应，即一个放射性原子的衰变使其发射辐射，并在其他原子中引发相同的效应并呈指数增长。尽管如此，爱因斯坦的方程迅速成为公众心目中的原子弹的前奏。美国政府发布的解释原子弹的美国政府文件“史迈斯报告”将这个方程放在了第二页。我怀疑这个东西就是杰克·科恩和我所说的“给儿童的谎言”——为合理的目的而讲的简化版故事，为更准确的启蒙铺平了道路。教育就是这样的：完整的故事对于任何非专业人士而言都太复杂了，而专家则知道得太多，以至于他们不相信大部分故事。

但我们也不能随随便便地对爱因斯坦的方程不屑一顾。它确实在核武器的发展中发挥了作用。为原子弹提供能量的核裂变这一概念，源于纳粹德国的物理学家莉泽·迈特纳(Lise Meitner)和奥托·弗里施(Otto Frisch)在1938年所做的讨论。他们试图了解将原子固定在一起的力，这有点儿像液体的表面张力。他们外出散步，讨论物理学，并且运用爱因斯坦的方程来研究裂变在能量上是否可能。弗里施后来写道：我们都坐在一根树干上，开始在小纸片上计算……当两滴分开时，它们将因电排斥而分离，总共约200 MeV。幸运的是，莉泽·迈特纳记得如何计算原子核的质量…… 并算出来形成的两个核…… 质量会减少质子质量的大约五分之一。根据爱因斯坦的公式 $E=mc^2$ ，质量相当于200 MeV。这一切都吻合！

虽然 $E=mc^2$ 没有直接带来原子弹，但它是物理学中的重大发现之一，让人们有效地从理论上理解了核反应。爱因斯坦在原子弹方面最重要的角色是政治性的。在利奥·西拉德(Leo Szilard)的敦促下，爱因斯坦在向罗斯福总统致信时警告说，纳粹可能正在开发原子武器并解释其强大的力量。他拥有很高的声望和极大的影响力，罗斯福听从了他的警告。曼哈顿计划、广岛和长崎原子弹爆炸事件，以及随后的冷战都只是它带来的一些后果。

广义相对论

爱因斯坦并不满足于狭义相对论。它提供了统一空间、时间、物质和电磁学的理论，但它落下了一个重要的东西。

引力。

爱因斯坦认为，“所有物理定律”必须满足伽利略相对性原理的扩展版本。万有引力定律当然应该是其中之一。但目前版本的相对论并非如此。牛顿的平方反比定律在参照系之间的变换不正确。所以爱因斯坦认为牛顿定律必须得改改了。既然他已经改变了牛顿宇宙中其他的一切，为什么不改变牛顿定律呢？

爱因斯坦花了十年。他的出发点是研究相对性原理对于在引力作用下自由运动的观察者有什么影响，例如，在一个自由下落的电梯中。最终，他找到了一个合适的表达。在这个过程中，他得到了一位好朋友——数学家马塞尔·格罗斯曼(Marcel Grossmann)的帮助，这位数学家为他指出了一个快速发展的数学领域：微分几何。这是从黎曼的流形概念和他对曲率的描述中发展而来的，我们在第1章中讨论过。当时我提到，黎曼的度量可以写成3x3的矩阵，可以说是一个对称张量。意大利的一个数学家流派，特别是图利奥·列维–齐维塔(Tullio Levi-Civita)和格雷戈里奥·里奇–库尔巴斯托罗(Gregorio Ricci-Curbastro)，接受了黎曼的观点，并将其发展为张量分析。

从1912年开始，爱因斯坦确信，要想搞清楚相对论引力理论，就得用张量分析来重新构造他的思想，但是在四维时空而不是三维空间中。数学家们很高兴地跟随黎曼的脚步，并允许任意多维度，所以他们已经得到了完全足够的一般性。简而言之，他最终得出了现在被我们称为“爱因斯坦场方程”的东西，写作 $R_{\mu v}-\frac{1}{2} Rg_{\mu v}=\kappa T_{\mu v}$ ,这里的R、g和T是张量——定义物理性质并根据微分几何规则变换的量，而 $\kappa$ 是常数。下标 $\mu$ 和 $v$ 可取时空的四个坐标，因此每个张量是一张由16个数字构成的4x4的表。两者都是对称的，这意味着在 $\mu$ 和v交换时它们不会改变，那么就可以简化为10个独立的数字。所以说到底，这个公式里面包含着10个方程，这就是为什么我们说起它们时往往会用复数形式(Einstein field equations)，就像麦克斯韦方程组(Maxwell's equations)那样。R是黎曼度量，它定义了时空的形状。g是里奇曲率张量，是对黎曼曲率概念的修正。T是能量–动量张量，它描述了这两个基本量如何依赖于相关的时空事件。1915年，爱因斯坦向普鲁士科学院提出了他的方程。他把他的新作称为广义相对论。

我们可以从几何上解释爱因斯坦方程，而在这样做时，这些方程就提出了一种理解引力的新方法。核心的创新在于引力不是一种力，而是时空的曲率。在没有引力的情况下，时空简化为闵可夫斯基空间。时空间隔的公式确定了相应的曲率张量，它的解释是“不弯曲的”，正如毕达哥拉斯定理适用于平面，却不适用于正或负弯曲的非欧几里得空间。闵可夫斯基的时空是平的。但是，当出现引力时，时空就会弯曲。

通常的方法是去掉时间，将空间维度减少到二维，然后得到如图（左）所示的东西。闵可夫斯基（时）空间的平面是扭曲的，在这里通过实际的弯曲来表示，产生了一个凹陷。在远离恒星的地方，物质或光线以直线（虚线）行进。但曲率会导致路径弯曲，表面上看起来好似来自恒星的力吸引了它。但是这里没有力，只有扭曲的时空。然而，这张有曲率的图沿着额外的维度让空间变形，这在数学上是不需要的。另一种图是根据弯曲的度量绘制一个等间距的测地线（最短路径）网格。在曲率更大的地方，它们会聚集在一起，如图（右）所示。

如果时空曲率很小，也就是说，如果（在先前的理解中）我们认为是引力的那种东西不是太大，那么从这个公式就可以得出牛顿的引力定律。比较两种理论，爱因斯坦的常数 $\kappa$ 最后算出来是 $\frac{8\pi G}{c^4}$ ，其中[插图]是牛顿的万有引力常数。这就把新理论与旧理论联系起来了，并证明了在大多数情况下，新理论与旧理论一致。如果这一点不再适用，即引力很大时，就出现了有趣的新物理。当爱因斯坦提出他的理论时，任何对相对论的检验都必须在实验室外以非常大的规模进行。而这意味着天文学。

对水星轨道的解释

因此，爱因斯坦一直在寻找行星运动中无法解释的怪异性，也就是那些与牛顿力学不相符的效应。他找到了一个可能合适的东西：水星轨道的一个令人费解的特征，它是最接近太阳的行星，受到最大的引力——如果爱因斯坦是正确的，它就在一个高曲率区域内。

像所有行星一样，水星沿着一条非常接近椭圆的路径运转，因此其轨道中的某些点会比其他点更靠近太阳。最接近处是它的近日点（perihelion，希腊语中的“靠近太阳”）。这个近日点的确切位置已被观察多年，而且它有点儿不对劲。近日点围绕太阳慢慢旋转，这种效应称为“进动”；实际上，椭圆轨道的长轴在缓慢地改变方向。这也不要紧，牛顿定律预测到了这一点，因为水星并不是太阳系中唯一的行星，而其他行星也在慢慢改变其轨道。问题在于牛顿的计算得出的进动率不对。轴旋转得太快了。

……

1915年，爱因斯坦给出了致命一击。他使用广义相对论重新分析了这个运动，没有假设存在任何新的行星，用一个简单而明晰的计算就得出了43弧秒的进动率——与更新勒维耶原始计算后得到的数字分毫不差。现代的牛顿理论计算预测进动率为每世纪5560弧秒，但观测值为每世纪5600弧秒。差异是40弧秒，因此每个世纪仍然有约3弧秒没有得到解释。爱因斯坦的公告做了两件事：它被视为证实了相对论，而且对大多数天文学家来说，它把火神星扔进了垃圾堆。

太阳会使光弯曲

广义相对论的另一个著名的天文学验证，是爱因斯坦预测太阳会使光弯曲。牛顿引力也预测到了这一点，但广义相对论预测的弯曲量要大上一倍。1919年的日全食提供了一决雌雄的机会，亚瑟·爱丁顿爵士进行了一次考察，最终宣布爱因斯坦胜出。当时的人们热情地接受了这一点，但后来发现数据很糟糕，而且结果受到了质疑。1922年的进一步独立观察似乎与相对论预测一致，后来对爱丁顿数据的重新分析也是如此。20世纪60年代，对射频辐射的观测成为可能，只有到了这个时候，人们才确定数据确实显示出两倍于牛顿预测值的转向，这符合爱因斯坦的预测。

广义相对论中最引人注目的预测出现在更大的范围上——黑洞（当一颗巨大的恒星在自己的引力下坍塌时诞生），以及宇宙膨胀（目前用“宇宙大爆炸”来解释）。

爱因斯坦方程的解是时空几何。这些解可能代表整个宇宙，或者它的某些部分（假定为引力孤立的，于是对宇宙的其余部分没有重要影响）。这类似于早期的牛顿假设，如只有两个物体相互作用。由于爱因斯坦的场方程涉及十个变量，因此在数学上很难获得显式的解。今天我们可以对这些方程求数值解，但这在20世纪60年代之前还属于异想天开，因为计算机要么不存在，要么太受限而没什么用。简化方程的标准方法是利用对称性。假设时空的初始条件是球对称的，也就是说，所有物理量仅取决于与球心的距离。这样一来，任何模型中的变量数量都会大大减少。1916年，德国天体物理学家卡尔·史瓦西(Karl Schwarzschild)对爱因斯坦方程做了这个假设，并设法得到了方程的精确公式解，称为“史瓦西度规”。他的公式有一个奇怪的特征：奇点。方程的解在位于距球心特定距离处变为无穷大，这个距离称为史瓦西半径。起初人们认为这个奇点是数学的某种产物，其物理意义有相当大的争议。我们现在把它解释为黑洞的事件视界。

想象一颗巨大的恒星，它的辐射无法抵抗它的引力场。这颗恒星将被它自己的质量吸引在一起并开始收缩。它的密度越大，这种效果越强，所以收缩会发生得越来越快。恒星的逃逸速度（物体必须达到这个速度，才能逃离引力场）也在增加。史瓦西度规告诉我们，在某个阶段，逃逸速度会等于光速。现在没有什么可以逃脱了，因为没有什么能比光运动得更快了。这颗恒星已经变成了一个黑洞，而史瓦西半径告诉我们，无法逃脱的区域，其边界就是黑洞的事件视界。黑洞物理学十分复杂，限于篇幅，我们这里没有办法真正讲清楚。我只想说，大多数宇宙学家现在同意该预测是成立的，宇宙中包含无数黑洞，而且至少有一个藏在银河系中心。事实上，大多数星系中心有黑洞。

宇宙大爆炸

1917年，爱因斯坦将他的方程应用于整个宇宙，假设了另一种对称性：时空均匀性。在所有空间和时间点，宇宙（在足够大的尺度上）看起来应该是相同的。到了这个时候，他修改了方程，加上了一个“宇宙常数” $\Lambda$ ，并搞清楚了常数 $\kappa$ 的含义。方程现在写成了这样：

$G_{\mu v}+\Lambda g_{\mu v} = \frac{8\pi G}{c^4T_{\mu v}}$ ,这些解具有出人意料的意义：宇宙会随着时间的推移缩小。这迫使爱因斯坦加上一个宇宙常数项：他寻求一个不变的、稳定的宇宙，并且通过将常数调整到正确的值，他可以阻止他的模型宇宙收缩到一个点。1922年，亚历山大·弗里德曼(Alexander Friedmann)发现了另一个方程，它预测宇宙应该扩张，并且不需要宇宙常数。这个方程还预测了扩张速度。爱因斯坦仍然不满意，他希望宇宙保持稳定不变。

这一次，爱因斯坦的想象力辜负了他。1929年，美国天文学家埃德温·哈勃(Edwin Hubble)和米尔顿·赫马森(Milton Humason)发现宇宙确实在膨胀的证据。遥远的星系正在远离我们，它们发出的光的频率变化显示了这一点——著名的多普勒效应，即救护车在快速经过时警笛的声调会下降，因为声波受到发射者和接收者相对速度的影响。这里的波是电磁波，物理是相对论物理，但多普勒效应依然存在。遥远的星系不仅在远离我们，而且它们离我们越远，远离得就越快。

如果让宇宙的膨胀时光倒流，那么在过去的某个时刻，整个宇宙基本上就是一个点。在此之前，它根本不存在。在那个起始点，空间和时间都在著名的大爆炸中出现，这是比利时数学家乔治·勒梅特(Georges Lemaître)于1927年提出的一种理论，几乎所有人都对它不屑一顾。当射电望远镜在1964年观察宇宙学微波背景辐射时，温度符合大爆炸模型，宇宙学家认定勒梅特终究是正确的。同样，就这个主题也能写一本书，而且也已经出了很多书。我们在这里只是说，目前最被广泛接受的宇宙学理论阐述的就是大爆炸的情景。

然而，科学知识总是暂时的。新发现可以改变它。大爆炸在过去的30年里一直是公认的宇宙学范式，但它开始显示出一些“裂缝”。一些发现要么对该理论提出了严重怀疑，要么需要一些推断存在但未被观察到的新的物理粒子和力。主要的困难有三个。我会先给出一个概述，然后再详细地讨论。第一个困难是星系自转曲线，它表明宇宙中的大部分物质缺失了。目前的提议是，这标志着一种新物质——暗物质的存在，它占宇宙中物质的大约90%，并且与在地球上直接观察到的任何物质都不同。第二个困难是宇宙的加速膨胀，它需要一种新的力——暗能量，来源不明，但可以利用爱因斯坦的宇宙常数建模得到。第三个困难是一组与流行的暴胀理论相关的理论问题，它们解释了为什么可观察的宇宙如此均匀。这个理论符合观察，但其内部逻辑看起来不怎么可靠。

批注：后面的暗物质、暗能量看的我是更加懵了，，，

相对论的应用

然而，无论是狭义还是广义，相对论动力学还有一个更接近生活的例子：汽车卫星导航。驾驶者使用的卫星导航系统利用由24个轨道卫星组成的网络(GPS)发出的信号来计算汽车的位置。GPS准确得惊人，它的工作原理是现代电子设备能够可靠地处理和测量非常微小的时间。它基于非常精确的定时信号，卫星发出并在地面上探测到这些脉冲。比较来自几颗卫星的信号，即可把接收器三角定位到几米之内。这种精确度水平要求时间误差在大约25纳秒（一纳秒是十亿分之一秒）之内。牛顿动力学给出的位置不对，因为牛顿方程中没有考虑的两个效应改变了时间的流动：卫星的运动和地球的引力场。

狭义相对论解决了运动问题，它预测：由于相对论的时间膨胀，卫星上的原子钟相比地面时钟应该每天减少7微秒（一微秒是百万分之一秒）。广义相对论则预测：地球引力会引起每天快45微秒。最终结果是：出于相对论的原因，卫星上的时钟每天会快38微秒。尽管看起来很小，但它对GPS信号的影响绝不可忽略不计。38微秒，也就是38000纳秒的误差，是GPS可以容忍的误差的约1500倍。如果软件使用牛顿动力学计算你的汽车的位置，你的卫星导航将很快变得毫无用处，因为错误将以每天10千米的速度增长。十分钟过后，牛顿GPS就会把你放在错误的街道上；到明天，它就会把你放在错误的城镇里。用不了一个星期，你就会身处错误的县；在一个月内，你就去了错误的国家；不消一年，你就会在错误的星球上了。如果你不相信相对论，却使用卫星导航来做旅行计划，那你可就得解释解释喽。