常见数集

一些常见的数集

✔非负整数集（或自然数集），记作N；

✔正整数集，记作N*或N+（“+”标在右下角）；

✔整数集，记作Z；

✔有理数集，记作Q；

✔实数集，记作R；

✔复数集，记作C；

说明：

自然数，又叫非负整数，是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。

实数，是和虚数相对的，只要不引入虚数单位，那就是实数。数学上，实数定义为与实数轴上的点相对应的数。实数轴是个连续的轴线，所以实数是有无限多个的。实数和虚数共同构成复数。

关于实数的更多内容可参考这篇文章：实数的概念是什么

有理数和无理数：实数里还有两个大分类，那就是有理数和无理数。

简单理解就是，有理数可以用数字表示出来，而无理数是没法用数字表示出来的，比如π，就是无理数，为什么我们不写成3.141592653……而要用一个字符来表示呢，就是因为π我们用数字根本就写不完，它是无限不循环小数。

了解下无理数的历史，还挺有意思的。

我们都知道实数分为有理数和无理数，所谓无理数指的是无限不循环小数，比如常见的圆周率，√2等等。

第一个发现无理数的人，本可以万古留名，但是他却被淹死了。

我们得从一个数学家毕达哥拉斯谈起。

毕达哥拉斯是古希腊的大数学家，他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)

毕达哥拉斯试着以数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界，他提出"万物皆为数”的观点:数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。

这种认识一直持续到公元前500年左右，有个人叫希伯索斯，他发现了一个神秘的数。

希伯索斯发现:当一个等腰直角三角形的两直角边为1的时候，斜边长度怎么找也找不到:因为这个数必须要满足平方是2这人条件，希伯索斯做了各种可能的尝试，终于意识到一个严峻的问题: 有理数不够用了!

这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他多，不幸的是，在条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了席墓，却是一场悲剧。

这就是数学史上发现的第一个无理数: √2

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，被称为数学上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促便人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展。

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

函数的概念和分类

补充：

隐函数是函数关系隐藏在方程式之中；

奇函数的曲线特征是，关于原点对称；偶函数的曲线特征是关于y轴对称；从图像上就很容易想象y轴两侧的数据关系。

幂函数

幂函数是比较常见的函数，我们常说的几次幂就是指的幂函数，比如平方、立方，四次方、五次方……负数幂就是正数幂的倒数，所以幂的绝对值越大，下降得越快。

指数函数和对数函数

指数函数和对数函数常常放在一起理解，因为他们两互为反函数

指数函数就是多少个a相乘，大于1的数越乘越大，小于1的数越乘越小。

当 x 很大的时候，指数函数的增长速度远大于幂函数——这直观上很好理解。

指数在计算机的计算中十分普遍，计算机常常要根据位数来计算有多少种组合，就是2的x次方，x常常会取1/8/16/32等等，我们要知道的一些指数式2的1次方=1，2的2次方=4，2的3次方=8，2的4次方=16，2的5次方=32，2的6次方=64，2的7次方=128，2的8次方=256，2的10次方1024，2的12次方=4096，2的16次方=65536，越往后，增长速度越快。

这里顺便提一下，计算机中虽然2的16次方等于65536，但是二进制全为1的时候，只有65535，因为数据是从0开始的，和个数不一样。

幂增长快于对数增长。

对数其实增长很慢，很好理解，比如10的2次方是100，10的3次方是1000，当lg对数的x从100到1000时，y才从2变化到3。

指数运算法则

对数的性质和运算法则

三角函数

重点了解正弦、余弦和正切。

三角函数的图形和特征

1

正弦和余弦

正弦和余弦可以通过相移π/2互换，所以可以总结为一般正弦曲线

振幅好理解，就是幅度变换；

角频率不太好理解，我们想想，根据正弦函数的定义，就是单元圆内三角形的对边比斜边，单位圆的斜边永远是1，所以就等于三角形对边的长度，也就是圆上坐标点对应的点到横轴的距离，也就是y坐标值，当以圆心为中心点逆时针旋转时，在坐标轴上用时间铺开，就能得到正弦曲线的图像。我们知道，圆的一周是360度，也就是2π，如果转一圈的时间为T，那么单元时间内转动的角度就是2π/T，这个结果，其实就是角频率，描述的是单位时间内角度转动的速度，所以角频率w=2π/T，其中T为旋转一圈的时间，我们称之为周期，铺在坐标轴上之后，周期的倒数我们称之为频率f，所以又有w=2πf，其中f就是曲线的频率，我们想想，角频率w越大，说明转的越快，铺开到坐标轴上，变化得越密集，频率也就越快。

初相就是偏离基本定义曲线的角度，对应到曲线上，就是角度/w，关于这一点，《信号与系统》中的坐标变换会进一步说明，这里暂时不展开。

2

正切曲线

正切曲线的周期为π

3

余切正割余割

三角函数有很多公式

诱导公式

基本关系

这个表不太会看，看最后的举例说明。

加法公式

和差与积互化公式

就是求和求差，跟乘积的，互相转换关系。

常被叫做：和差化积、积化和差

倍角公式

半角公式

降幂公式

有限和公式

反三角函数

暂时了解即可。