注：书中对代码的讲解并不详细，本文对很多细节做了详细注释。另外，书上的源代码是在Jupyter Notebook上运行的，较为分散，本文将代码集中起来，并加以完善，全部用vscode在python 3.9.18下测试通过。

Chapter4 Multilayer Perceptron

4.5 Weight Decay

前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合，但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

在多项式回归的例子中，我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials），也可以说是变量幂的乘积。单项式的阶数是幂的和。例如，$x_1^2{x}_2$和$x_3{x}_5^2$都是3次单项式。

注意，随着阶数$d$的增长，带有阶数$d$的项数迅速增加。 给定$k$个变量，阶数为$d$的项的个数为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1+d}{k-1}\right)$，即$C_{k-1+d}^{k-1}=\frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}$。因此即使是阶数上的微小变化，比如从$2$到$3$，也会显著增加我们模型的复杂性。仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊，我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

4.5.1 Norm and Weight Decay

权重衰减是最广泛使用的正则化的技术之一在训练参数化机器学习模型时，权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一，它通常也被称为$L_2$正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，因为在所有函数$f$中，函数$f=0$（所有输入都得到值$0$）在某种意义上是最简单的。但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？没有一个准确的答案。
一种简单的方法是通过线性函数$f(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}$中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$。要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，调整为最小化预测损失和惩罚项之和。现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$。这正是我们想要的。3.1节的线性回归例子里，损失由下式给出：

$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$

为了惩罚权重向量的大小，我们必须以某种方式在损失函数中添加$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$，但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？实际上，我们通过正则化常数$\lambda$来描述这种权衡，这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

$$L(\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2,$$

对于$\lambda =0$，我们恢复了原来的损失函数。对于$\lambda >0$，我们限制$\Vert \mathbf{w}\Vert$的大小。这里我们仍然除以$2$，是因为我们取一个二次函数的导数时，$2$和$1/2$会抵消。通过平方$L_2$范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和，这使得惩罚的导数很容易计算。

$L_2$正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法，$L_1$正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。我们通常使用$L_2$范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下，$L_1$惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

$L_2$正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \left(1-\eta \lambda \right)\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right).\end{array}$$

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新$\mathbf{w}$。然而，我们同时也在试图将$\mathbf{w}$的大小缩小到零。这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。较小的$\lambda$值对应较少约束的$\mathbf{w}$，而较大的$\lambda$值对$\mathbf{w}$的约束更大。是否对相应的偏置$b^2$进行惩罚在不同的实践中会有所不同，在神经网络的不同层中也会有所不同。通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

4.5.2 High Dimensional Linear Regression

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：

$$y=0.05+\sum _{i=1}^{d}0.01x_i+ϵ\text{ where }ϵ\sim \mathcal{N}(0,0.01^2).$$

我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到$d=200$，并使用一个只包含20个样本的小训练集。

import matplotlib.pyplot as plt
import torch
from d2l import torch as d2l
from torch import nn

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

#初始化模型参数
def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

#定义L2范数惩罚
def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

#训练
def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                    d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
    
#忽略正则化直接训练
train(lambd=0)
plt.show()

#使用正则化后进行训练
train(lambd=3)
plt.show()

#简洁实现
def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                        (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                        d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
    
train_concise(0)
train_concise(3)
plt.show()

无正则化效果(过拟合):

正则化效果: