2016年认证杯SPSSPRO杯数学建模

A题 洗衣机

原题再现：

  洗衣机是普及率极高的家用电器，它给人们的生活带来了很大的方便。家用洗衣机从工作方式来看，有波轮式、滚筒式、搅拌式等若干种类。在此基础上，各厂商也推出了多种具体方案，设计了不同的几何及运转参数，诸如波轮的外形、内筒的内壁形状、旋转方式和转速等。不同设计方案的净衣效能和对衣物的损伤程度各不相同。
  第一阶段问题：
  1. 请你建立合理的指标，衡量洗衣机的净衣效能和对衣物的损伤程度。
  2. 请你建立合理的数学模型，对典型的波轮式和滚筒式家用洗衣机的工作方式进行分析，并分别估算这两种工作方式的净衣效能和对衣物的损伤程度。为简单起见，我们可以只考虑洗涤过程，不考虑漂洗和脱水过程。

整体求解过程概述(摘要)

  本文主要针对洗衣机的不同设计方案对衣物的净衣效能和损伤程度的影响大小，研究了不同条件下洗衣效果随各影响因子改变的变化趋势，最后得到不同设计方案下洗衣机的综合效能，得出了最优设计。
  针对问题一，通过建立指标，将洗衣机的净衣效能用洗净率和洗净均匀度来衡量，对织物的损伤程度用磨损率和缠绕率来衡量。同时充分考虑了指标的影响因子，即洗衣机的转速、内筒壁形状、波轮外形，旋转方式。并将这些因素当量化为不同的参数值，查阅相关实验数据，使用 SPSS 对各个因素进行线性回归分析，得出了单一变量下净衣性能和衣物损伤程度随各影响因子的变化趋势。利用此趋势，我们对洗衣机性能进行量化分析，找出相应的设计最优值，为洗衣机进行优化设计提供依据。
  针对问题二，首先对波轮式和滚筒式洗衣机的工作方式进行分析：波轮洗衣机的工作方式主要是依靠波轮左右旋转产生振动，使污物与衣服分离。而滚动洗衣机是靠衣物与机器内壁的碰撞所造成的挤压使水与衣服快速分离时带出大量污物。其次，对波轮式洗衣机建立了空气动力学模型和摩擦模型。对滚筒洗衣机通过动能与拉格朗日方程的整合，得到洗衣过程的动力模型。同时运用理论与实验相结合的方法，查阅相关实验数据并拟合，使洗衣机的工作方式具有更强的可读性和可理解性。考虑到影响因子间的相互作用，通过相关性分析对实验数据进行逐项线性回归分析，运用主成分分析和稳定分析对实验结果进行验证。最后，通过比较两种洗衣机的综合效能，得出两种洗衣机的在最优净洗能力和损伤程度组合下的最优转速、桶壁/波轮外形、停转比。
  同时，本文在最后对模型的优缺点进行分析，改进和推广了模型，分析了模型在其他特定领域的广阔应用前景。

问题分析：

  针对问题一，净衣效能作为洗衣机的自身特性，需要靠净衣结果来反映，即洗涤后衣物的洁净效果。而洗涤后衣物的洁净效果则需要从两个方面来考虑，即单件衣物洁净效果和整体衣物洁净效果。从单件衣物的洁净效果来看，我们以单件衣物洁净率作为指标；从整体衣物的洁净效果来看，我们以整体洁净均匀程度作为指标。洗衣机对衣物的损伤程度可以直接通过衣物的损伤来反映。洗涤后衣物的损伤包括磨损率和缠绕率。我们用洗涤后衣物的磨损率和缠绕率来衡量洗衣机对衣物的损伤程度。
  针对问题二，为建立波轮洗衣机与滚筒洗衣机的工作模型，我们需首先详细了解通用型洗衣机的工作方式及工作特点。然后通过工作特点抽象简化出其洗涤衣物时的动力模型。对于波轮式洗衣机，由于其内部构建较为复杂，故先对各部件工作方式建模，再进行整体建模过程。将波轮洗衣机简化为四根吊杆及内筒（阻尼筒）共同组成的悬挂系统，再通过空气动力学模型和摩擦模型，从两个角度描述分析波轮洗衣机在工作时的动力行为。
  对于滚筒式洗衣机，将滚筒对衣物的提升和摔打简化为振动模型。振动模型主要通过势能，动能方程与拉格朗日方程的整合，得到洗衣过程的动力学模型。

模型假设：

  1. 假设洗衣机工作过程中水的受力平衡，即水在洗衣机内作等角速度运动。
  2. 假设每种洗衣机只存在一种工作方式，由于各类洗衣机在工作时都会兼有其他类型洗衣机的工作特征，故我们忽略这种影响。
  3. 假设数据的来源具有普适性，即我们在这片论文中所引用的数据都是可靠的。
  4. 假设洗衣机工作过程中由于水及衣服所引起的偏心力可忽略不计，也就是忽略在工作过程中洗衣机的自振。
  5. 假设洗衣机内摩擦和阻尼弹簧对选悬挂系统的影响可以忽略，以此简化波轮洗衣机的震动模型。

论文缩略图：

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部分程序代码：(代码和文档not free)

clear all
g = 9.8;
R =1:0.01: 100
W = (3./8)
W1 = sqrt(W);
W2 = sqrt(W1);
W3 = sqrt(g./R)
W4 = (W2).* (W3);
w = W4
V = sqrt(((w.* w).* (R.* R)).* (9 - 8.* ((w.* w).*(w.* w).* (R.* R))./(g.* g)))
n = w./(2.*pi)
plot(R,V,'r-*')
xlabel('滚筒的半径R');
ylabel('最大抛落速度');
title('滚筒的半径R与最大抛落速度V1的函数关系')

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g = 9.8;
R =1:0.01: 100
W = (3./8)
W1 = sqrt(W);
W2 = sqrt(W1);
W3 = sqrt(g./R)
W4 = (W2).* (W3);
w = W4
V = sqrt(((w.* w).* (R.* R)).* (9 - 8.* ((w.* w).*(w.* w).* (R.* R))./(g.* g)))
n = w./(2.*pi)
plot(R,n,'*')
% plot(R,w,'b-*')
hold on
% plot(R,V,'r-*')
 
xlabel('滚筒的半径R ');
ylabel('最大转速n');
title('滚筒的半径R与最大转速n的函数关系 ')

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