数据结构—基础知识（九）：树和二叉树(a)

树的定义

树(Tree)是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空树T：

1. 有且仅有一个称之为根的结点；
2. 除根结点以外的其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2,T3,…Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。

显然，树的定义是递归的，即在树的定义中又用到了其自身，树是一种递归的数据结构,树作为一种逻辑结构，同时也是一种分层结构，具有有以下两个特点:

1. 树的根结点没有前驱，除根结点外的所有结点有且只有一个前驱。
2. 树中所有结点都可以有零个或多个后继。

树的基本术语

1. 结点：树中的一个独立单元。包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，如上图中的A、B、C、D等。(下面术语中均以上图为例来说明)
2. 结点的度：结点拥有的子树数称为结点的度。例如，A的度为3，C的度为1，F的度为0。
3. 树的度：树的度是树内各结点度的最大值。图所示的树的度为3。
4. 叶子：度为0的结点称为叶子或终端结点。结点K、L、F、G、M、I、J都是树的叶子。
5. 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，非终端结点也称为内部结点。
6. 双亲和孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。例如，B的双亲为A，B的孩子有E和 F。
7. 兄弟：同一个双亲的孩子之间互称兄弟。例如，H、I和J互为兄弟。
8. 祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。例如，M的祖先为A、D和H。
9. 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如B的子孙为E、K、L和 F。
10. 层次：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。树中任一结点的层次等于其双亲结点的层次加1。
11. 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。例如，结点G与E、F、H、I、J互为堂兄弟。
12. 树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。图所示的树的深度为4。
13. 有序树和无序树：如果将树中结点的各子树看看成从左至右是有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
14. 路径和路径长度：树中两个结点之间的路径是由这两个结点之间所经过的结点序列构成的，而路径长度是路径上所经过的边的个数。
15. 森林：是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。由此，也可以用森林和树相互递归的定义来描述树。

树的性质

树具有如下最基本的性质：

1. 树中的结点数等于所有结点的度数之和加1。
2. 度为m的树中第i层上至多有m^(i-1)个结点（i≥1）。
3. 高度为h的m叉树至多有（m^(h)-1）/（m-1)个结点；至少有h个结点。
4. 具有n个结点的m叉树的最小高度为[logm (n(m-1)+1)]向上取整。