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【动态规划】【数学】【C++算法】18赛车
涉及知识点
动态规划
LeetCode741 摘樱桃
给你一个 n x n 的网格 grid ，代表一块樱桃地，每个格子由以下三种数字的一种来表示：
0 表示这个格子是空的，所以你可以穿过它。
1 表示这个格子里装着一个樱桃，你可以摘到樱桃然后穿过它。
-1 表示这个格子里有荆棘，挡着你的路。
请你统计并返回：在遵守下列规则的情况下，能摘到的最多樱桃数：
从位置 (0, 0) 出发，最后到达 (n - 1, n - 1) ，只能向下或向右走，并且只能穿越有效的格子（即只可以穿过值为 0 或者 1 的格子）；
当到达 (n - 1, n - 1) 后，你要继续走，直到返回到 (0, 0) ，只能向上或向左走，并且只能穿越有效的格子；
当你经过一个格子且这个格子包含一个樱桃时，你将摘到樱桃并且这个格子会变成空的（值变为 0 ）；
如果在 (0, 0) 和 (n - 1, n - 1) 之间不存在一条可经过的路径，则无法摘到任何一个樱桃。
示例 1：
输入：grid = [[0,1,-1],[1,0,-1],[1,1,1]]
输出：5
解释：玩家从 (0, 0) 出发：向下、向下、向右、向右移动至 (2, 2) 。
在这一次行程中捡到 4 个樱桃，矩阵变成 [[0,1,-1],[0,0,-1],[0,0,0]] 。
然后，玩家向左、向上、向上、向左返回起点，再捡到 1 个樱桃。
总共捡到 5 个樱桃，这是最大可能值。
示例 2：
输入：grid = [[1,1,-1],[1,-1,1],[-1,1,1]]
输出：0
参数范围：
n == grid.length
n == grid[i].length
1 <= n <= 50
grid[i][j] 为 -1、0 或 1
grid[0][0] != -1
grid[n - 1][n - 1] != -1
动态规划
起程和返程可能进过同一地点，此处的樱桃只能摘一次。转换一下思路：假定有两个机器人，第一个机器按起程路线走，第二个机器人按返程路线反向走。由于只能向右下，所以不会存在环，也不会往回走。假定移动step次后，第一个机器人在r1行，第二个机器人在r2行，则第一个机器人在第step-c1列，第二个机器人在step-c2列。同一格行列号相同 ==> 行列号之和(step)相同 ==> 不同step，一定不是同一格子。
小技巧： setp相同时，只需要判断行号或列号是否相同。
动态规划的填表顺序
时间复杂度:O((n*2)nn) 三层循环，第一层从小到大枚举step；第二层枚举第一个机器人所在行，第二层枚举第二个机器人所在行。
动态规划的状态表示
pre[r1][r2]表示 step步后，机器人一在r1，机器人二在r2 已经收获的最大樱桃数。
dp[nr1][nr2]表示 step+1步后，机器人一在nr1，机器人二在nr2 已经收获的最大樱桃数。
动态规划的转移方程
int i2 = (nr1 == nr2) ? 0 : grid[nr2][nc2];//如果两个机器人 在同一位置不重复计算
dp[nr1][nr2] = max(dp[nr1][nr2],pre[r1][r2] + grid[nr1][nc1] + i2 );
动态规划的初始状态
pre[0][0] = grid[0][0];
动态规划的返回值
return (-1==pre.back().back())?0: pre.back().back();
代码
封装类
class CEnumGridEdge
{
public:
void Init()
{
for (int r = 0; r < m_r; r++)
{
for (int c = 0; c < m_c; c++)
{
Move(r, c, r + 1, c);
Move(r, c, r - 1, c);
Move(r, c, r, c + 1);
Move(r, c, r, c - 1);
}
}
}
const int m_r, m_c;
protected:
CEnumGridEdge(int r, int c) :m_r(r), m_c(c)
{
}
void Move(int preR, int preC, int r, int c)
{
if ((r < 0) || (r >= m_r))
{
return;
}
if ((c < 0) || (c >= m_c))
{
return;
}
OnEnumEdge(preR, preC, r, c);
};
virtual void OnEnumEdge(int preR, int preC, int r, int c) = 0;
};
复制类
class TNeiBoForGrid : public CEnumGridEdge
{
public:
TNeiBoForGrid(const vector<vector<int>>& grid):m_grid(grid),
CEnumGridEdge(grid.size(),grid.front().size())
{
m_vNext.assign(m_r, vector < vector<pair<int, int>>>(m_c));
Init();
}
virtual void OnEnumEdge(int preR, int preC, int r, int c)
{
if ((-1 == m_grid[preR][preC]) || (-1 == m_grid[r][c]))
{
return;
}
if ((preR > r) || (preC > c))
{
return;
}
m_vNext[preR][preC].emplace_back(r, c);
}
const vector<vector<int>>& m_grid;
vector < vector < vector<pair<int, int>>>> m_vNext;
};
核心代码
class Solution {
public:
int cherryPickup(vector<vector<int>>& grid) {
TNeiBoForGrid neiBo(grid);
vector<vector<int>> pre(neiBo.m_r, vector<int>(neiBo.m_r, -1));
pre[0][0] = grid[0][0];
for (int step = 0; step < neiBo.m_r + neiBo.m_c - 2; step++)
{
vector<vector<int>> dp(neiBo.m_r, vector<int>(neiBo.m_r, -1));
for(int r1 = max(0,step-(neiBo.m_c-1)) ; r1 <= min(step, neiBo.m_r-1);r1++ )
for (int r2 = max(0, step - (neiBo.m_c - 1)); r2 <= min(step, neiBo.m_r-1); r2++)
{
if (-1 == pre[r1][r2])
{
continue;
}
const int c1 = step - r1;
const int c2 = step - r2;
for (const auto& [nr1, nc1] : neiBo.m_vNext[r1][c1])
{
for (const auto& [nr2, nc2] : neiBo.m_vNext[r2][c2])
{
int i2 = (nr1 == nr2) ? 0 : grid[nr2][nc2];//如果两个机器人 在同一位置不重复计算
dp[nr1][nr2] = max(dp[nr1][nr2],pre[r1][r2] + grid[nr1][nc1] + i2 );
}
}
}
pre.swap(dp);
}
return (-1==pre.back().back())?0: pre.back().back();
}
};
测试用例
template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
vector<vector<int>> grid;
{
Solution sln;
grid = { {-1} };
auto res = sln.cherryPickup(grid);
Assert(0, res);
}
{
Solution sln;
grid = { {0} };
auto res = sln.cherryPickup(grid);
Assert(0, res);
}
{
Solution sln;
grid = { {1} };
auto res = sln.cherryPickup(grid);
Assert(1, res);
}
{
Solution sln;
grid = { {0,1,-1},{1,0,-1},{1,1,1} };
auto res = sln.cherryPickup(grid);
Assert(5, res);
}
{
Solution sln;
grid = { {1,1,-1},{1,-1,1},{-1,1,1} };
auto res = sln.cherryPickup(grid);
Assert(0, res);
}
{
Solution sln;
grid = { {1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, -1}, { -1,1,1,-1,-1,1,1,1,1,1 }, { 1,1,1,-1,1,1,1,1,1,1 }, { 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 }, { -1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 }, { 1,-1,1,1,1,1,-1,1,1,1 }, { 1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,1 }, { 1,-1,1,-1,-1,1,1,1,1,1 }, { 1,1,-1,-1,1,1,1,-1,1,-1 }, { 1,1,-1,1,1,1,1,1,1,1 } };
auto res = sln.cherryPickup(grid);
Assert(0, res);
}
}
2023年1月
class Solution {
public:
int cherryPickup(vector<vector>& grid) {
m_c = grid.size();
m_preDp.assign(1, vector(1, grid[0][0]));
for (int len = 1; len <= m_c * 2 - 2; len++)
{
vector<vector> dp;
dp.assign(len + 1, vector(len + 1, -1));
for (int r1 = 0; r1 <= min(len,m_c-1); r1++)
{
for (int r2 = 0; r2 <= r1; r2++)
{
const int c1 = len - r1;
const int c2 = len - r2;
if ((c1 >= m_c) || (c2 >= m_c))
{
continue;
}
if ((grid[r1][c1] < 0) || (grid[r2][c2] < 0))
{
continue;
}
int tmp1 = grid[r1][c1];
if (r1 != r2)
{
tmp1 += grid[r2][c2];
}
int tmp2 = -1;
Test(tmp2, grid, r1, r2, len - 1);
Test(tmp2, grid, r1 - 1, r2, len - 1);
Test(tmp2, grid, r1, r2 - 1, len - 1);
Test(tmp2, grid, r1 - 1, r2 - 1, len - 1);
if (tmp2 < 0)
{
continue;
}
dp[r1][r2] = tmp1 + tmp2;
}
}
m_preDp.swap(dp);
}
return max(0,m_preDp[m_c-1][m_c-1]);
}
void Test(int& iNew,const vector<vector>& grid,int r1, int r2, int iPreLen)
{
if (r1 < 0 || r1 > iPreLen)
{
return;
}
if (r2 < 0 || r2 > iPreLen)
{
return;
}
if (r1 < r2)
{
int tmp = r1;
r1 = r2;
r2 = tmp;
}
if (m_preDp[r1][r2] < 0)
{
return;
}
iNew = max(iNew,m_preDp[r1][r2]);
}
int m_c;
vector<vector> m_preDp;
};
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快
速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
| 我想对大家说的话 |
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| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
