N皇后

题目

LeetCode 51.N皇后

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例

示例1

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

Alt
示例2

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

分析

给定n，题目要求的就是0-n-1这n个数的满足要求的所有排列方式，需要满足的条件就是，对于任意两个棋子，不能存在同行、同列、同对角线的情况。

从第0行开始，需要在[0, n-1]中选择一个数，在对应位置放置棋子，然后是第1行、第2行…直至第n-1行

显然，题目的本质就是一个排列问题，只是在这些排列方式中，需要去除某些不符合要求的情况，排列问题可以用回溯算法求解，确定求解方法为回溯。

定义一个回溯函数，backtrack(vector &board, int row)，其中board为二维数组，记录当前棋局，row为当前处理行。

在backtrack函数内部，需要注意一些细节：

终止条件是row == n，即所有行都已经处理完，这时当前的棋盘就是一个合法的解，加入结果集中
为了去除某些不合要求的排列，每次对位置做选择时，先要判断一下，用一个isValid函数来判断当前位置是否存在同行、同列、同对角线的情况，如果存在，continue

回溯算法框架

res = []
backtrack(棋局，选择列表）：
	if 满足终止条件：
		res.push_back(棋局)
		return 
	for 选择 in 选择列表：
		做选择
		backrack(棋局，选择列表）
		撤销选择

代码

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> res;
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<string> board(n, string(n, '.'));
        backtrack(board, 0);
        return res;
    }

    void backtrack(vector<string> &board, int row) {
        int n = board.size();
        if (row == n) {
            res.push_back(board);
            return;
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!isValid(board, row, i)) continue;
            board[row][i] = 'Q';
            backtrack(board, row + 1);
            board[row][i] = '.';
        }
    }

    bool isValid(vector<string> &board, int row, int col) {
        int n = board.size();
        for (int i = row; i >= 0; i--) { //上方
            if (board[i][col] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row, j = col; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) { //左上方
            if (board[i][j] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row, j = col; i >= 0 && j < n; i--, j++) { //右上方
            if (board[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }

};

N皇后II

题目

LeetCode 52.N皇后II

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n × n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回 n 皇后问题不同的解决方案的数量。

示例

示例1

输入：n = 4
输出：2
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

在这里插入图片描述

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

分析

与上道N皇后完全一样，不过只需要记录排列方式的总数，而不用存储具体的排列方式

代码

class Solution {
public:
    int res = 0;
    int totalNQueens(int n) {
        vector<vector<int>> board(n, vector<int>(n, 0));
        backtrack(board, 0);
        return res;
    }

    void backtrack(vector<vector<int>> &board, int row) {
        int n = board.size();
        if (row == n) {
            res++;
            return;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!isValid(board, row, i)) continue;
            board[row][i] = 1;
            backtrack(board, row + 1);
            board[row][i] = 0;
        }
    }
    
    bool isValid(vector<vector<int>>& board, int r, int c) {
        int n = board.size();
        for (int i = 0; i < r; i++) {
            if (board[i][c]) return false;
        }
        for (int i = r, j = c; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (board[i][j]) return false;
        }
        for (int i = r, j = c; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
           if (board[i][j]) return false;
        }
        return true;
    }
};