手撕乘积(Multiplication & Product): 穷举和图示(1)

乘积

$$r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underset{s\text{ times}}{\underbrace{r+r+\cdots +r}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underset{r\text{ times}}{\underbrace{s+s+\cdots +s}}$$

4 * 3
>>> 12

.1 * .2
>>> 0.020000000000000004 # 😓

[1, 2, 3] * 2
>>> [1, 2, 3, 1, 2, 3]

[1, 2, 3] * [1, 2, 3]
>>> TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'list' # 😓

(1, 2, 3) * 4
>>> (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3)

(1, 2, 3) * (1, 2, 3)
>>> TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'tuple'

np.array([1,2,3]) * 2
>>> array([2, 4, 6])

np.array([1,2,3]) * np.array([1,2,3])
>>> array([1, 4, 9])
np.multiply(np.array([1,2,3]), np.array([1,2,3]))
>>> array([1, 4, 9])

np.array([1,2,3]) * np.array([1,2,3,4])
>>> ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,) (4,)
np.multiply(np.array([1,2,3]), np.array([1,2,3,4]))
>>> ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,) (4,)

np.array([[1,2,3], [1,2,3]]) * np.array([2,3,4])
>>> array([[ 2,  6, 12],
           [ 2,  6, 12]])
np.multiply(np.array([[1,2,3], [1,2,3]]), np.array([2,3,4]))
>>> array([[ 2,  6, 12],
           [ 2,  6, 12]])

点乘

x = 3
y = 5
xNda = np.arange(x)
>>> array([0, 1, 2])
x2Nda = xNda*2+1
>>> array([1, 3, 5])
yNda = np.arange(1, y)
>>> array([1, 2, 3, 4])
xyNda = np.meshgrid(xNda, yNda)
>>> array([[[0, 1, 2],
            [0, 1, 2],
            [0, 1, 2],
            [0, 1, 2]],
           [[0, 0, 0],
            [1, 1, 1],
            [2, 2, 2],
            [3, 3, 3]]])

np.dot(x, y)
>>> 15
np.dot(xNda, x)
>>> array([0, 3, 6])
np.dot(xNda+3, xNda+7) # 👇图示之
>>> 98

向量的点乘，也叫做向量的内积、数量积。对两个向量执行点乘运算，就是对着两个向量对应位置一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

定义: 向量 $a=[a_1,a_2,...,a_n]$ 和向量 $b=[b_1,b_2,...,b_n]$ 的内积为:

$a\cdot b={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$

特别地，$0\cdot a=a\cdot 0=0$；若 $a,b$ 是非零向量，则 $a$ 与 $b$ 正交的充要条件是 $a\cdot b=0$。

点积的几何意义: 可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在 $b$ 向量在 $a$ 向量方向上的投影，有公式:

$$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$$

其中, $\theta$ 为 $a$ 与 $b$ 之间的夹角。

根据这个公式就可以计算向量 $a$ 和向量 $b$ 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为:

• $a\cdot b>0$，方向基本相同，夹角在 $0°$ 到 $90°$ 之间；
• $a\cdot b=0$，正交，相互垂直；
• $a\cdot b<0$，方向基本相反，夹角在 $90°$ 到 $180°$ 之间。

向量点乘的运算特性:

• $a^2\ge 0$；当 $a^2=0$ 时，必有 $a=0$； （正定性）
• $a\cdot b=b\cdot a$；（对称性）
• $(\lambda a+\mu b)\cdot c=\lambda a\cdot c+\mu b\cdot c$，对任意实数 $\lambda ,\mu$ 成立； （线性）
• $\cos \angle (a,b)=a\cdot b/(|a||b|)$；(余弦定理)
• $|a\cdot b|\le |a||b|$，等号只在 $a$ 与 $b$ 共线时成立。

😓😓😓…请等下集分解

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