快速幂算法总结

news2024/11/15 23:20:10

知识概览

快速幂可以在O(logk)的时间复杂度之内求出来 $a^k \ mod \ p$ 的结果。 $(1\leqslant a,p,k\leqslant 10^9)$

例题展示

快速幂

题目链接

活动 - AcWing 系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/877/

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n--)
    {
        int a, k, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);
        
        printf("%d\n", qmi(a, k, p));
    }
    
    return 0;
}

快速幂求逆元

题目链接

活动 - AcWing 系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/878/

题解

由费马小定理，可得当p为质数时， $a^{p-2}$ 为a的乘法逆元，本题求 $a^{p-2}$ 模p的值。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n--)
    {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        
        int res = qmi(a, p - 2, p);
        if (a % p) printf("%d\n", res);
        else puts("impossible");
    }
    
    return 0;
}